第六章 磁场
通过复习后，应该:
1.掌握磁感应强度、毕奥-萨伐尔定律、洛伦兹力、霍尔效应、安培力、磁场对载流线圈的作用、物质的磁性和磁化、电磁感应定律;
2.理解几种电流的磁场、安培环路定理、质谱仪、超导体及其抗磁性、感生电动势、自感现象;
3.了解磁场中的高斯定理、电磁流量计、超导磁体、人体生物磁场、涡旋电场。
6-1 一个半径为0.2m、阻值为200Ω的圆形电流回路，接12V的电压，求回路中心处的磁感应强度。
解: 已知半径r =0.2m，电源电压U=12V，圆形回路的电阻R=200Ω，根据欧姆定律，可求得回路的电流为
I=U/ R=12/200 A=0.06 A
由圆形电流磁场公式，可得回路中心处的磁感应强度为
4??10?7?0.06B??T?1.88?10?7T
2r2?0.2?0I
6-2 一根长直导线上载有电流100A，把它放在50G的均匀外磁场之中，并使导线与外磁场正交，试确定合成磁场为零的点到导线的距离。
解: 长直载流导线产生的磁场，其磁感线是一些围绕导线的同心圆，在导线周围总有一点A，其磁感强度与外磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，该点的合磁场为零。
已知I =100A，B= 50G = 5.0×10 T，根据长直载流导线磁场公式B?-3
?0I，可得A2?a点离导线的距离a为
?0I4??10?7?100a??m?4.0?10?3m?4.0mm ?32?B2??5.0?10
6-3 0.4m长的细管上绕有100匝导线，其电阻为3.14Ω，欲在螺线管内获得200G的磁感应强度，需外加电压多少伏?
-1-2
解: 已知螺线管单位长度上的线圈匝数n =100/0.4=250匝·米，B =200G =2×10 T，根据螺线管电流磁场公式B = μ0nI，可得螺线管通过的电流为
B2?10?222I??A??10A?63.7A ?7?0n4??10?250?已知线圈电阻R =3.14Ω，根据欧姆定律可计算出需加的外电压为 U=IR=2/π×102×3.14V=200V
6-4 一平面上有两个同心的圆形回路，用相同电动势的电池（内阻忽略不计），通过相
-6
反方向的电流，使在中心处产生的磁感应强度为零，已知外圆用铜线，其电阻率为1.7×10
Ω·cm，内圆用铝线，电阻率为2.8×10 Ω·cm，这些导线的截面积相同，外圆直径为200cm，求内圆的直径。
解: 设外圆和内圆的半径分别为r1、r2，则外圆和内圆的导线长分别为L1 =2πr1，L2 =2πr2 ；它们的电阻率分别为ρ1、ρ2，已知两导线截面积相同，设为S，则由电阻公式可得两圆导线电阻R1 和R2 分别为
R1 =ρ1 L1 /S=2πr1 ρ1/ S R2 =2πr2 ρ2 /S
因为两圆导线上加的电压相同，设为U，则它们通过的电流分别为
I1 =U/R1 = US/(2πr1 ρ1) I2 = US/(2πr2 ρ2)
由圆形电流磁场公式可得外圆和内圆产生的磁感应强度B1 和B2 分别为
?I??USUSB1?01?0??02
2r12r12?r1?14?r1?1?I?USB2?02?02
2r24?r2?2因为圆心处的磁感强度为零，故B1与B2 方向相反、大小相等，即B1 =B2，则由上面两式可
得
-6
?0US?0US?4?r12?14?r22?2-6
1r12?1?1r22?2
-6
又知r1 =1/2×200cm=100cm，ρ1 =1.7×10 Ω·cm，ρ2 =2.8×10 Ω·cm，则由上式可得内圆半径为
?1r121.7?10?6?1002r2??cm?78cm ?6?22.8?10由此可得内圆的直径为
d=2r2 =2×78cm=156cm
6-5 电流I=20A，流过半径R2 =0.05m的金属薄圆筒，再从圆筒轴线的细导线流回来，
-3
细导线的半径R1 =1.0×10 m，筒的长度为l =20m。求： ①筒中离轴线0.02m处P点的B值； ②筒外离轴线0.10m处Q点的B值（P、Q点均位于筒的中部）。
A I I R2
Q P r P CP CQ Q
r′
I I
习题6-5附图（a） 习题6-5附图（b）
解: ①由于筒长20m，远大于0.02m和0.10m，故可看作成无限长。如附图所示，在垂
直于圆筒轴线的平面上，以0.02m为半径以轴线为圆心过P点作一圆CP ，作为积分回路，由于磁场方向与圆CP 的切线方向相同，故θ =0°，cosθ=1，且由于对称分布，在圆CP 上B值处处相同，应用安培环路定理得
?CPBcos?dl??0?I B·2πr = μ0 I
-7
-1
已知r =0.02m，I=20A，μ0 =4π×10 T·m·A ，则由上式得
?0I4??10?7?20B??T?2?10?4T
2?r2??0.02②同理，以轴为圆心，0.1m为半径，过Q点作一圆CQ ，作为积分闭合回路，由安培环
路定理得
?CQBcos?dl??0?I??0(I轴?I筒)?0
故筒外Q点的B=0。
6-6 一根载有电流I的无限长直导线，在一处分为对称的两路又合而为一，这两路均为半径为R的半圆（见本题附图），求圆心处的磁感应强度。
解: 由图可知，所求圆心O处的磁感应强度为直线电流与圆弧电流产生的磁场B1、B2 的矢量和。先讨论直线电流产生的磁场B1。由于其上的任一电流元Idl与该电流元到O点的矢
?0Idlsin??0，故B1 =0。 24?r再考虑两段半圆弧电流产生的磁场。由于电路的对称性，上下两段电路中电流相等，且I'=I/2。在上圆弧A点取一电流元I'd l。在下圆弧
I′ I′dl 对应的A'点也同样取电流元I'dl（见附图）。由毕奥-A R 萨伐尔定律知，这两小段电流元在圆心O处产生的磁A 场大小相等，但方向相反（由右手螺旋法则可判定），O I 因此两段圆弧产生的磁场恰好互相抵消，由于圆弧电
A′ B 路的对称性，其他对应的两小段圆弧在O处产生的磁
I′ 感应强度也恰好互相抵消，因此B2 =0。
由上面的讨论可知，圆心处的磁感应强度为零。 习题6-6附图
6-7 如果一个电子在通过空间某一区域时，不发生偏转，能否肯定这个区域中没有磁场? 为什么?
答: 运动电荷在磁场中将要受到一个磁场力的作用，其大小为F=qvBsinθ。可见F除了与q、v、B有关外，还与v和B的夹角θ有关，当电子以顺着或逆着磁场方向通过磁场时，θ=0°或θ=180°，F =0，电子将不受力。所以当电子不偏转时，不能肯定这个区域中没有磁场。
6-8 一均匀磁场的磁感应强度的方向垂直向下，如果有两个电子以大小相等，方向相反的速度沿水平方向同时射入磁场，问这两个电子作何运动? 如果一个是正电子，一个是负电子，它们的运动又如何?
答: 它们将在洛伦兹力的作用下，作圆周运动。由于它们的速度大小相同，方向相反，所受的洛伦兹力相等，方向相反，所以它们圆周运动的半径、周期相等，但一个是逆时针方向运动，另一个是顺时针方向运动。如果一个是正电子，一个是负电子，则两者所受的洛伦
径r在一条直线上，sinα=0，由毕奥-萨伐尔定律知dB?
大一上物理课件 第六章
