函数的奇偶性与周期性
1．函数的奇偶性
奇函数 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 定义 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做f(x)就叫做奇函数 图象特征 2.函数的周期性 (1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)
(6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√) (7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×)
(8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√) (9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)
(10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)
关于原点对称 偶函数 关于y轴对称
考点一 判断函数的奇偶性
命题点 用函数奇偶性定义判断 [例1] (1)下列函数为奇函数的是( ) A．y＝x B．y＝ex C．y＝cos x D．y?ex?e?x 解析：对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B，
f(－x)≠－f(x)，故不符合要求；对于C，满足f(－x)＝f(x)，故不符合要求；对于D， ∵f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴y＝ex－e－x为奇函数，故选D. 答案：D
(2)下列函数中为偶函数的是( )
1
A．y＝x B．y＝lg|x| C．y＝(x－1)2 D．y＝2x
解析：根据奇、偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D为非奇非偶函数． 答案：B
(3)函数f(x)＝3－x2＋x2－3，则( )
A．不具有奇偶性 B．只是奇函数C．只是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
2
?3－x≥0，
解析：由?2得x＝－3或x＝3.
?x－3≥0，
∴函数f(x)的定义域为{－3，3}．
∵对任意的x∈{－3，3}，－x∈{－3，3}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数． 答案：D
[方法引航] 判断函数的奇偶性的三种重要方法 (1)定义法：
(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称． (3)性质法：
①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； ②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； ③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．
判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝(x＋1)
1－x1－x
； (2)f(x)＝lg. 1＋x1＋x
1－x
≥0， 1＋x
解：(1)要使函数有意义，则
解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称， ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
1－x(2)由＞0?－1＜x＜1，定义域关于原点对称．
1＋x
1＋x1－x1?x?1又f(－x)＝lg＝lg(＝－f(x)，f(－x)≠f(x)．故原函数是奇函数． )＝－lg
1－x1＋x1?x考点二 函数的周期性及应用
命题点
[例2] (1)下列函数不是周期函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝|sin x| C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1)
解析：y＝sin x与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，x∈(0，＋∞)与x∈(－∞，0)图象不重复，无周期． 答案：C
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________． 解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－
1
， f?x?
1
，且当x∈[0,2)f?x?
1.周期性的简单判断 2.利用周期性求函数值 ∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．
1
∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－＝－1，
f?1?
∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0. 答案：0
[方法引航] (1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值． (2)判断函数周期性的几个常用结论．
①f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|. ②f(x＋a)＝
1
(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期； f?x?
1
，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期． f?x?
1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－________.
解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0. 答案：0
2．若本例(2)条件变为f(x)对于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求f(－2 017)＋f(2 019)的值．
解：由f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(2 019)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝1， ∴f(－2 017)＋f(2 019)＝2.
考点三 函数奇偶性的综合应用
1.已知奇偶性求参数 命题点 2.利用奇偶性、单调性求解不等式 3.利用奇偶性求解析式或函数值 2x＋1[例3] (1)若函数f(x)＝x是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为( )
2－aA．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞)
2－x＋12x＋1
解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即－x＝－x.化简可得a＝1，
2－a2－a2x＋12x＋12x＋1－3?2x－1?2x－2
则x＞3，即x－3＞0，即＞0，故不等式可化为x＜0，即1＜2x＜2，x2－12－12－12－1解得0＜x＜1，故选C. 答案：C
1
”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 017)＋f(2 019)＝f?x?
③f(x＋a)＝－
ax＋b21(2)函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝5.
1＋x22①确定函数f(x)的解析式；
②用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数； ③解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
解：①∵在x∈(－1,1)上f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即b＝0，∴f(x)＝
a
2
ax
. 1＋x222x1又∵f()＝5，∴＝.解得，a＝1.∴f(x)＝2，经检验适合题意． 151＋x21＋41＋x2－2x21－x22②证明：由f′(x)＝22＝22.x∈(－1,1)时，1－x＞0，∴f′(x)＞0 ?1＋x??1＋x?∴f(x)在(－1,1)上为增函数．
?－1＜t－1＜1③由f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)，即f(t－1)＜f(－t)．∴?－1＜－t＜1
?t－1＜－t
1
得0＜t＜2. (3)已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝( ) A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x) C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x) 解析：当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＜0时， f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)． 答案：C
[方法引航] ?1?根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f?－x?＝－f?x?或f?－x?＝f?x?在定义域内恒成立，建立参数关系.
?2?根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.
1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________． 1
解析：a－1＋2a＝0，∴a＝3.
1
f(x)＝ax2＋bx为偶函数，则b＝0，∴a＋b＝3. 1
答案：3
函数的奇偶性与周期性
