充分条件与必要条件
(15分钟 30分) 1.“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的 ( ) A.充分条件 B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选B.因为当a+b为偶数时，a，b都可以为奇数. 所以“a+b是偶数”
“a和b都是偶数”，
显然“a和b都是偶数”?“a+b是偶数”.
所以“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件. 2.有以下说法，其中正确的个数为 ( ) (1)“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.
(2)“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件. (3)“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选D.(1)由于“m是自然数”?“m是整数”，因此“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.
(2)由三角形全等可推出这两个三角形对应角相等，所以“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.
(3)由(a+b)·(a-b)=0，得：|a|=|b|，推不出a=b，由a=b，能推出|a|=|b|，故“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.
3.已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A?B”的 ( ) A.充分条件 B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选A.当a=3时，A={1，3}，故A?B，若A?B?a=2或a=3，不一定有a=3，故“a=3”
是“A?B”的充分条件.
4.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空： (1)“ax+bx+c=0
2
有实根”是“ac<0”的_______.
(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的_______. 【解析】(1)因为ax+bx+c=0
2
2
有实根，
所以Δ=b-4ac≥0，ac<0不一定成立； 但ac<0时，Δ=b-4ac≥0一定成立， 所以“ax+bx+c=0
2
2
有实根”是“ac<0”的必要条件.
(2)△ABC≌△A′B′C′?△ABC∽△A′B′C′， △ABC∽△A′B′C′
△ABC≌△A′B′C′，
所以“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的充分条件. 答案：(1)必要条件 (2)充分条件 【补偿训练】
用“充分”或“必要”填空： (1)“x≠3”是“|x|≠3”的_____条件.
(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的_____条件. 【解析】(1)因为|x|≠3时，x≠±3，
所以“x≠3”“|x|≠3”，“|x|≠3” ? “x≠3”，所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要条件. (2)因为个位数字是5或0的自然数都能被5整除，所以“个位数字是5的自然数”?“这个自然数能被5整除”；“这个自然数能被5整除”“个位数字是5的自然数”，所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件. 答案：(1)必要 (2)充分
5.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除. (2)p：x>1，q：x>1.
2
(3)p：b=ac，q：=. (4)p：A∩B=A，q：UB?UA.
【解析】(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立.即p?q，q所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件. (2)因为x>1?x>1或x<-1， 所以p?q，且q
p.
2
2
p，
所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件. (3)b=ac
2
=，如b=0，c=0时，b=ac，而，无意义.但=?b=ac，
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所以p是q的必要条件，但p不是q的充分条件. (4)画出Venn图(如图).
结合图形可知，A∩B=A?A?B?UB?UA，
反之也成立，所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件.
(20分钟 40分) 一、单选题(每小题5分，共15分)
1.若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则 A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C.“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件 D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
【解析】选B.x∈A必有x∈C，但反之不一定成立，所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.
2.已知P={x|a-4 ( ) ( ) A.-1≤a≤5 B.-1 C.-2≤a≤3 D.-2≤a<3 【解析】选A.因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P， 所以即所以-1≤a≤5. 3.“b=c=0”是“二次函数y=ax+bx+c(a≠0)经过原点”的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 【解析】选A.b=c=0?y=ax，二次函数一定经过原点；二次函数y=ax+bx+c经过原点?c=0，b不一定等于0. 【误区警示】解答本题容易忽视对二次函数y=ax+bx+c经过原点的含义(即c=0)理解错误. 二、多选题(共5分，其中全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 4.下列条件中是“a+b>0”的充分条件的是 ( ) A.a>0，b>0 B.a<0，b<0 C.a=3，b=-2 D.a>0，b<0且|a|>|b| 【解析】选ACD.问题是“谁”是“a+b>0”的充分条件；因为“a>0，b>0”?“a+b>0”， “a<0，b<0” “a+b>0”，“a=3，b=-2”?“a+b>0”. 2 2 2 2 “a>0，b<0且|a|>|b|”?“a+b>0”，所以A，C，D中的条件均是“a+b>0”的充分条件，B中的条件不是“a+b>0”的充分条件. 三、填空题(每小题5分，共10分) 5.下列不等式：①x<1；②0 <1的一个充分条件 的所有序号为_______，可以是<1的一个必要条件的所有序号为_______. 【解析】由于<1，即-1 ①-1 ②0 <1的一个充分条件， ①④是<1的一个必要条件. 答案：②③④ ①④ 6.设p：≤x≤1；q：a≤x≤a+1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是_______. 【解析】因为q：a≤x≤a+1，p是q的充分条件， 所以 解得0≤a≤. 答案：四、解答题 7.(10分)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 【解题指南】可将r，p，q，s的关系用图表示，然后利用关系图解答. 【解析】r，p，q，s的关系如图， (1)因为q?s，s?r?q，所以s是q的充分条件，同时s是q的必要条件. (2)因为r?q，q?s?r，所以r是q的充分条件，同时r是q的必要条件. (3)因为q?s?r?p，p q，所以p是q的必要条件，p不是q的充分条件.
2024_2024学年新教材高中数学1.4.1充分条件与必要条件课时素养评价(含解析)新人教A版必修第一册
