中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题
题 号 得 分 评卷人 复查人 一 1～5 二 6～10 11 12 三 13 14 总 分 答题时注意：
1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．设a?7?1，则代数式3a3?12a2?6a?12的值为( ).
（A）24 （B）25 （C）47?10 （D）47?12 2．对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对与之间的运算（a，b）（c，d）“△”为：（a，b）△（c，d）＝（ac?bd，ad?bc）．如果对于任意实数u，v， 都有（u，v）△（x，y）＝（u，v），那么（x，y）为( ).
（A）（0，1） （B）（1，0） （C）（﹣1，0） （D）（0，-1）
x3．若x?1，y?0，且满足xy?xy，?x3y，则x?y的值为( ).
y911 （D） 224．点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设（A）1 （B）2 （C）
S四边形EADF?S1，S?BDF?S2，S?BCF?S3，S?CEF?S4，则S1S3与S2S4的大小关系为
( ).
1
（A）S1S3?S2S4 （B）S1S3?S2S4 （C）S1S3?S2S4 （D）不能确定 5．设S?111?3?3?3123?1，则4S的整数部分等于( ). 399（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．若关于x的方程(x?2)(x2?4x?m)?0有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是 .
7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .
8．如图，点A，B为直线y?x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y?1（x＞0）于C，D两点. 若BD?2AC，则4OC2?OD2 的值x为 .
（第8题） （第10题） 9．若y?1?x?x?为 .
1的最大值为a，最小值为b，则a2?b2的值2 10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为 .
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰好比方程
2
x2?ax?b?0的两个根都大1，求a?b?c的值.
12．如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点.
（第12题） 13．如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线y?22x于P，Q两点. 3（1）求证：∠ABP=∠ABQ；
（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60o，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.
（第13题） 14．如图，△ABC中，?BAC?60?，AB?2AC．点P在△ABC内，且
PA?3，PB?5，PC?2，求△ABC的面积．
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数学竞赛 全国奥林匹克数学大赛初中数学竞赛试题解答 含答案解析
