习题一参考答案
1、写出下列试验的样本空间：
（1） 从A、B、C、D四位学生中推选代表参加数学竞赛，
（a） 推选其中三位,参加学校组织的竞赛;
（b） 推选其中二位,一位参加省级竞赛,另一位参加全国竞赛; (2) 从盛有三个白球,两个红球的口袋中,任取两球. (3) 实测某种型号灯泡的寿命.
解(1)(a)?={ABC、 ABD、 ACD 、BCD}
(b) ?={AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC} (2)假定白球间、红球间均可识别,不妨设白球标号为1,2,3;红球标号为4,5.则 ?={(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5) 、 (3,5)} (3) ?=?0,???
2、在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。
(1) 叙述ABC的意义。
(2)在什么条件下ABC?C成立？ (3)什么时候关系式C?B是正确的？ (4) 什么时候A?B成立？
解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) ABC?C 等价于C?AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
3、设A1,A2,?,An为任意n个事件,试用A1,A2,?,An表示下列事件:
??? (1)只有A2发生 A1A2A3?An ? (2)只有A2不发生 A1A2A3?An
(3)至少有一个发生
i?1?Ai ?
n (4)恰有一个发生
n????A1?Ai?1AiAi?1?Ani?1???? (5)没有一个发生 A1A2A3?An
(6)至少有两个不发生
??AiAj1?i?j?n?
(7)至多有两个发生 ?-(
1?i?j?k?n?AiAjAk)
4、设Ai表示”第i个电器元件工作正常”事件,i?1,2,?,6,试用A1,A2,?,A6表示下列系统的工作正常事件:
(1) A1?A2A3?A4 (2) ?A1?A2A3?A5??A6?A3?A2A5??A4
5、证明下列各式：
(1)A?B?B?A; (2)A?B?B?A (3) (A?B)?C?A?(B?C) (4) (A?B)?C?A?(B?C) (5)(A?B)?C?(A?C)?(B?C) (6) ?Ai??Ai
i?1i?1nn证明略
6、有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。
3?10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须解：样本点总数为C5是3、5、7或3、7、9或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角
3形”包含3个样本点，于是P(A)?。
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7、一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？
解： 显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!个样本点。所以P(A)?3!2!2!2!48? 13!13!
8、一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。
解： 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从
79层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含A9个样本点，于是7A9P(A)?7。
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9、某地以英文字母及阿拉伯数字组成自行车的七位牌照. 试求下列事件的概率: (1) 牌照的前2位是英文字母,后5位是阿拉伯数字; (2) 牌照中有2位英文字母, 5位阿拉伯数字.
解: (1)令A表示”牌照的前2位是英文字母,后5位是阿拉伯数字”事件 A的样本点总数n?367,有利样本点数m=262105
m262105?0.000863 ?P?A?=?7n36 (2)令B表示”牌照中有2位英文字母,5位阿拉伯数字” 事件
2 B的样本点总数n?367,有利样本点数m=C7262105
2252610mC7?0.018115 ?P?B?=?7n36
10、有20个人,设每人的生日在一年得365天中的任何一天都是等可能的.试求: (1)每个人的生日全不同的概率;
(2)没有人的生日在元月份的概率;
(3)20个人中有5个人的生日在元月份, 5个人的生日在二月份, 6个人的生日在十一月份,4个人的生日在十二月份的概率. 解: 样本点总数n?36520
20A365(1) 令A表示” 20个人的生日全不同” 事件,则P?A?=
36520
(2) 令B表示” 20个人中没有人的生日在元月份” 事件,则P?B?=
3342036520
(3) 令C表示” 20个人中没有人的生日在元月份” 事件,则
P?C?=
55644C20315C15285C10306C4313652031528530631420!= ?205!5!6!4!365
11、一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。
解: 6根草的情形:取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5?3?1种接法，同样对尾也有5?3?1种接法，所以样本点总数为(5?3?1)2。用A表示“6根草恰好连成一个环”事件，这种连接，对头而言仍有5?3?1种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4?2。所以A包含的样本点数为(5?3?1)(4?2)，于是
P(A)?(5?3?1)(4?2)8? 15(5?3?1)2 2n根草的情形和(1)类似得.
12、两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。
解: 分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当x?y?1,y?x?2。
11242??232??22222因此所求概率为P(A)??0.121 224
13、在线段AB上任取三点x1,x2,x3，求：
(1) x2位于x1与x3之间的概率。
(2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。 解： (1)令事件A1表示“x1位于x2和x3在之间” 令事件A2表示“x2位于x1和x3在之间” 令事件A3表示“x3位于x1和x2在之间”
由对称性可知：P?A1??P?A2??P?A3? 且P?A1??P?A2??P?A3??1 所以P(A2)?1 3(2) 令B表示“Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形”，设线段AB的长为1
?x1?x2?x3? Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形，当且仅当?x1?x3?x2
?x?x?x31?2 而此充要条件在几何上等价于向边长为1的正立方体中随机投点，随机点落入由平面x1?x2?x3、x1?x3?x2、x2?x3?x1，x1?1，x2?1，x3?1111?3??32?1 所围成的六面体内。所以P(B)?12
14、在正方形?p,q?p?1,q?1中任取一点，求使方程 x2?px?q?0
（1） A=“有两个实根”的概率； （2）B?“有两个正根”的概率。 解：（1）??????p,q?p?1,q?1?，A???p,q?p2?4q?0?
习题一参考答案
