1..【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐
函
数
求
导
.
xxln(1?sinx)y?(1?sinx)【详解】 方法一： =e，于是
y??exln(1?sinx)?[ln(1?sinx)?x?
cosx]1?sinx，
从而
dyx??=
y?(?)dx???dx.
lny?xln(1?sinx)，对x求导，得
方法二： 两边取对数，
1xcosxy??ln(1?sinx)?1?sinx， yy??(1?sinx)x?[ln(1?sinx)?x?于是
cosx]1?sinx，故
dyx??=
y?(?)dx???dx.
【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.
2..【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.
32【详解】 因为a=
x???limf(x)(1?x)?lim?1,x???xxx
(1?x)?xx3232b?lim?f(x)?ax??lim
x???x????32，
3y?x?.2 于是所求斜渐近线方程为
【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）
当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当x??时，极限考虑x???的情形.
3..【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令x?sint，则
a?limx??f(x)x不存在，则应进
一步讨论x???或x???的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只
=4...
dcost??2??arctan(cost)01?cos2t??20??4.
【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等.
?【分析】直接套用一阶线性微分方程y?P(x)y?Q(x)的通解公式：
?P(x)dxP(x)dxy?e?[?Q(x)e?dx?C]，
再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为
y??2y?lnxx，
y?e??xdx2于是通解为
[?lnx?e?xdx2dx?C]?1?[?x2lnxdx?C]2x
111xlnx?x?C29x， =3y(1)??由
111y?xlnx?x.9得C=0，故所求解为39
【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为
2222??xy?2xy?xlnx[xy]?xlnx，两边积分得
，即
11x2y??x2lnxdx?x3lnx?x3?C39 ，
y?再代入初始条件即可得所求解为
11xlnx?x.39
?(x)?1x?0?(x)5…【分析】 题设相当于已知，由此确定k即可.
lim?(x)1?xarcsinx?cosx?lim2x?0?(x)x?0kx【详解】 由题设，
limlim =
xarcsinx?1?cosxkx2(1?xarcsinx?cosx)
x?01xarcsinx?1?cosx33lim??1k?.2x?04k4 x=2k，得
【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.
6…【分析】 将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有
?111??(?1,?2,?3)?123????149??， =
111B?A?123?1?2?2.于是有
149
【评注】 本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若
?1?a11?1?a12?2???a1n?n，
?2?a21?1?a22?2???a2n?n， ?m?am1?1?am2?2???amn?n，
?a11a21?am1??a?a?a1222m2?.?m????1,?2,?,?n??????????aa?a2nmn? ?1n3n??1?2?则有
7….【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当 当
x?1x?1时，时，
f(x)?limn1?xn??n???1；
；
f(x)?limn1?1?13当
x?1f(x)?limx(n??1x3n?1)?x.
1n3时，
即
??x3,x??1,?f(x)??1,?1?x?1,?x3,x?1.? 可见f(x)仅在x=?1时不可导，故应选(C).
【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点. 8….
【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为当F(x)为偶函数时，有
F(x)??f(t)dt?C0x，且
F?(x)?f(x).
F(?x)?F(x)，于是F?(?x)?(?1)?F?(x)，即 ?f(?x)?f(x)，也即
xf(?x)??f(x)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则?0f(t)dt为偶函数，从而F(x)??f(t)dt?C0x为偶函数，可见(A)为正确选项.
12x 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2, 排除(D); 故应选
(A).
【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系？
9..【分析】 先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.
2【详解】 当x=3时，有t?2t?3，得t?1,t??3（舍去，此时y无意义），于是
dy dx1?1?tt?12t?2t?1?18，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：
y?ln2??8(x?3)，
1ln2?3令y=0, 得其与x轴交点的横坐标为：8, 故应(A).
【评注】注意本题法线的斜率应为-8. 此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意答案就可能出错.
10…【分析】 由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考虑用轮换对称性.
【详解】 由轮换对称性，有
=
af(x)?bf(y)af(y)?bf(x)1[?]d?2??f(x)?f(y)f(y)?f(x)D
a?ba?b1a?b2d?????2??.??2242D = 应选(D).
【评注】 被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分析. 特别，当具有轮换对称性（x,y互换，D保持不变）时，往往用如下方法：
2?2u?2u?u22?y?x?y，再比较答案即可. ?x11…【分析】 先分别求出、、
?u???(x?y)???(x?y)??(x?y)??(x?y)【详解】 因为?x， ?u???(x?y)???(x?y)??(x?y)??(x?y) ?y， ?2u????(x?y)????(x?y)???(x?y)???(x?y)2?x于是 ， ?2u????(x?y)????(x?y)???(x?y)???(x?y)?x?y ，
?2u????(x?y)????(x?y)???(x?y)???(x?y)2?y ， ?2u?2u?22?x?y，应选(B).
可见有
【评注】 本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为做题技巧，也可
?2u?2u?22222?(t)?t,?(t)?1，则u(x,y)?2x?2y?2y，容易验算只有?x?y成立，同样可找到取
正确选项(B). 12….
【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且
limf(x)??x?0x?1?，所以x=0为第二类间断点； ，
x?1?limf(x)?0limf(x)??1，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).
xxxxx?1x?1lim????lim????.lime???lime?0.??【评注】 应特别注意：x?1x?1，x?1x?1 从而x?1，x?1
13….【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 由于
k1?1?k2A(?1??2)?0，则
k1?1?k2?1?1?k2?2?2?0， (k1?k2?1)?1?k2?2?2?0.
?1,?2线性无关，于是有
当
?2?0时，k?0,k2?0，?A(?1??2)线性无关；?A(?1??2)显然有1此时1，反过来，若1，
?2?0(,否则，?1与A(?1??2)=?1?1线性相关)，故应选(B).
线性无关，则必然有
?1?1?[?1,A(?1??2)]?[?1,?1?1??2?2]?[?1,?2]?0?2???， 方法二： 由于
1?1可见
?1，A(?1??2)线性无关的充要条件是0?2??2?0.故应选(B).
【评注】 本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念.
14…【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可. 【详解】 由题设，存在初等矩阵于是
E12（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得）EA?B，
，使得 12?1B*?(E12A)*?A*E*12?A*E12?E12??A*E12，即
考研数学二真题答案解析
