极值点偏移——对数平均不等式（本质回归）
笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：
2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b， ?a?ab??e?1?b??bb?aa2??lnaln不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a?b，定义有ab?a?b为a，b的对数平均值，且
lna?lnba?ba?b，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为?lna?lnb2G?a,b??L?a,b??A?a,b?．
先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设
R?a?b?0lna?lnb，则klna?klnb?a?b，
klna?a?klnb?b，构造函数f?x??klnx?x，则f?a??f?b?．由f??x??k?1得xf??k??0，且f?x?在?0,k?上Z，在?k,???上]，x?k为f?x?的极大值点．对数平
均不等式即ab?k?a?b?a?b?2k，等价于?，这是两个常规的极值点偏移问题，留给2ab?k2?读者尝试．
证法2（比值代换） 令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??
lna?lnb2lnt2?t?
2?t?1?t?1t?11???lnt?t?，构造函数可证． lnt2t?1t证法3（主元法） 不妨设a?b，
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ab?a?babab?lna?lnb???lna?lnb???0．
lna?lnbbabaab，a??b,???，则 ?ba记f?a??lna?lnb?11bf??a??????a2ab2aa?a?b2aab?2?0，得f?a?在?b,???上]，有
f?a??f?b??0，左边得证，右边同理可证．
证法4（积分形式的柯西不等式） 不妨设a?b，则由
??lnalnbedxx?2????e?lnalnbx2dx???alnalnb12dx得?b?a???2122?a?b??lna?lnb?，2a?ba?b； ?lna?lnb2?a1??a1?由??dx????2dx?bx???bx?ab?a?b．
lna?lnb2?2?11?2lna?lnb?得1dx??????a?b?，?b?ba??证法5（几何图示法） 过f?x??1?a?b2?,上点??作切线，由曲边梯形面积，大于直2a?bx??a1a?ba?b1?角梯形面积，可得?a?b??； ??dx?lna?lnb，即
bxa?blna?lnb22如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得
?ab1dx?lna?b?x?1??1??a?a?bba?b?． ?，即ab?2lna?lnb???????由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题．
再解例1：f?x1??f?x2?即x1e
?x1?x2e?x2，lnx1?x1?lnx2?x2，则
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x1?x2?1lnx1?lnx2（正数x1，x2的对数平均数为1），于是x1x2?1?x1?x2，得x1x2?1，且2x1?x2?2．
再解例2：f?x???x?2?e?a?x?1??0即?2?x?e?a?x?1??0；由
xx2x???2?x1?e1?a?x1?1?f?x1??f?x2??0得?2，两式相减得 x22?xe?ax?1?2??2???22?2?x1?ex??2?x2?ex12?a?x1?x2??x1?x2?2?，
下面用反证法证明x1?x2?2．
xxxx若x1?x2?2，则?2?x1?e1??2?x2?e2?0，?2?x1?e1??2?x2?e2，取对数得
ln?2?x1??x1?ln?2?x2??x2，则
而由对数平均不等式得
x2?x1?1．
ln?2?x1??ln?2?x2??2?x1???2?x2???2?x1???2?x2??2?x1?x2?1，x2?x1?ln?2?x1??ln?2?x2?ln?2?x1??ln?2?x2?22矛盾．
再解例3：由x1lnx1?x2lnx2?m得x1?mm，x2? lnx1lnx2mm?x1?x2lnx1lnx2m； ???lnx1?lnx2lnx1?lnx2lnx1lnx2m?lnx1?lnx2?mm． x1?x2???lnx1lnx2lnx1lnx2由对数平均不等式得
m?lnx1?lnx2??m??m?0,lnx1?0,lnx2?0?，
lnx1lnx22lnx1?lnx21． e2?2?lnx1?lnx2?ln?x1x2?，得x1x2?再解练习1：由lnx1?ax1?lnx2?ax2得
x1?x21?1?1x?x??0?a??，则?12，
lnx1?lnx2a?e?a2 3 / 6
(完整版)极值点偏移问题专题——对数平均不等式
