2012年全国初中数学竞赛预赛
试题及参考答案
一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】 （A）2,3,1 （B）2,2,1 （C）1,2,1 （D）2,3,2 【答】A．
解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．
2．已知一次函数y?(m?1)x?(m?1)的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【 】
（A）m??1 （B）m??1 （C）m?1 （D）m?1 【答】C．
解：一次函数y?(m?1)x?(m?1)的图象经过一、二、三象限，说明其图象
?m?1?0,与y轴的交点位于y轴的正半轴，且y随x的增大而增大，所以? 解得
?m?1?0.m?1．
??DA???3．如图，在⊙O中，CDAB，给出下列三个 结论：（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30° 时，∠DAB=80°．其中正确的个数是【 】
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答】D．
CBOD第3题图
A???解：因为CD所以DC=AB；因为?AO是半径,所以AO⊥BD；AD??AB，AB，设∠DAB =x度，则由△DAB的内角和为180°得：2(x?30?)?x?180?，解得
x?80?．
4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 】
（A）
3211 （B） （C） （D）
34321
【答】B．
解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有
424种可能，所以摸出花色不一样的概率是?.
635．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1,0)，点B的坐标是(?3,?3)，点C是y轴上一动点，要使△ABC为等腰三角形，则符合要求的点C的位置共 有【 】
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个 【答】D．
解：由题意可求出AB=5，如图，以点A为圆心AB 的长为半径画弧，交y轴于C1和C2，利用勾股定理可求
C3 A x C5 C2 C4 第5题图 y C1 出OC1=OC2=52?12?26，可得C1(0,26),C2(0,?26)， 以点B为圆心BA的长为半径画弧，交y轴于点C3和C4， 可得C3(0,1),C4(0,?7)，AB的中垂线交y轴于点C5，利用 三角形相似或一次函数的知识可求出C5(0,?17)． 6B O 6．已知二次函数y?2x2?bx?1（b为常数），当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型 抛物线），这条抛物线的解析式是【 】
1（A）y??2x2?1 （B）y??x2?1
21（C）y??4x2?1 （D）y??x2?1
4【答】A．
2y
O x
第6题图
?b8?b2?b8?b2解：y?2x?bx?1的顶点坐标是???4,8??，设x??4，y?8，由
??b8?b28?(?4x)2x??得b??4x，所以y???1?2x2．
488二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）
7．若m?n?2，则2m2?4mn?2n2?1的值为 ． 【答】7．
2
解：2m2?4mn?2n2?1?2(m?n)2?1?2?22?1?7． 8．方程
112??的解是 ．
(x?1)(x?2)(x?2)(x?3)3【答】x1?0,x2??4． 解：
111111?????
(x?1)(x?2)(x?2)(x?3)x?1x?2x?2x?3112??. x?1x?3(x?1)(x?3)?22?∴，解得 x1?0,x2??4.
(x?1)(x?3)39．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1,0）， 若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转 90°得到线段BA?，则点A?的坐标是 ． 【答】(b?1,?a?1)．
解：分别过点A、A?作x轴的垂线，垂足分别 为C、D．显然Rt△ABC≌Rt△BA?D． 由于点A的
yABODCA'第9题图
x坐标是(a,b)，所以OD?OB?BD?OB?AC?1?b，A?D?BC?a?1，所以点的A?坐标是(b?1,?a?1)．
?是以点A为圆心210．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，DE1?是以点M为圆心2为半径的1圆弧，则图中两段弧之间的为半径的圆弧，NB44阴影部分的面积为 ． 【答】2．
解：连接MN，显然将扇形AED向右平移 可与扇形MBN重合，图中阴影部分的面积等于 矩形AMND的面积，等于1?2?2．
D N C A M E 第10题图
B 3
11．已知α、β是方程x2?2x?1?0的两根，则?3?5??10的值为 ． 【答】?2．
解：∵α是方程x2?2x?1?0的根，∴?2?1?2?． ∴ ?3??2???(1?2?)????2?2???2(1?2?)?5??2， 又 ∵?????2,
∴ ?3?5??10?(5??2)?5??10?5(???)?8=5?(?2)?8??2．
12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有 个． 【答】36．
解：利用抽屉原理分析，设最多有x个小朋友，这相当于x个抽屉，问题变为把145颗糖放进x个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则4x?1≤145，解得x≤36，所以小朋友的人数最多有36个．
三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分） 13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？
解：设王亮出生年份的十位数字为x，个位数字为y（x、y均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况： ???????2分
（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为2000?10x?y，依
2题意，得 201?(20?00x?1y0?)?2?x0?y ，
整理，得 y?10?11x,2 x、y均为0 ~ 9的整数，
∴x?0. 此时y?5.
∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．???????8分
（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为1900?10x?y，依
2题意，得 201?(19?00x?1y0?)?1?x9?y ，
102?11x102?11x,0≤≤9, 22整理，得 11x?102?2y，故x为偶数，又y?∴ 77≤x≤9, ∴ x?8. 此时y?7. 11∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁． ???????14分 综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．?????15分
4
14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D在线段OA上，BD=BA， 点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是(0,3)，设直线PQ的解析式为y?kx?b．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线y?ax2?5ax的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围．
解：（1）直线y?kx?b经过P(0,3)，∴ b?3．
y∵B(3,2)，A(5,0)，BD=BA，∴ 点D的坐标是(1,0)， ∴ BD的解析式是y?x?1, 1≤x≤3.
CP QB?y?x?1,4, 依题意，得 ?，∴x?1?k?y?kx?3.∴ 1≤OD Ax41≤3.解得?3≤k≤?.?????????????????7分 1?k31 （2）??3≤k≤?,且k为最大整数，∴k??1.
3则直线PQ的解析式为y??x?3.?????????????????9分
5?525?又因为抛物线y?ax2?5ax的顶点坐标是?,?a?，对称轴为x?．
24??25??y??x?3,?x?,551??2x?(,)， 解方程组?得 即直线PQ与对称轴为的交点坐标为?5222x?.?y?1.?2??2?∴
12582??a?2．解得 ??a??．??????????????15分 242525?上一动点， 15. 如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是MNBA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连结PQ，试说明3PQ2?OA2是定值．
解：（1）证明：如图①， ∵∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON，
5
∴四边形OABC是矩形． ∴AB//OC,AB?OC．
∵E、G分别是AB、CO的中点， ∴AE//GC,AE?GC.
N
C
P G
F B E ∴四边形AECG为平行四边形.
∴CE//AG. ???????????4分 O A M D 连接OB， 图① ∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点， ∴ GF∥OB，DE∥OB， ∴ PG∥EQ，
∴四边形EPGQ是平行四边形．??????????????????6分
（2）如图②，当∠CED=90°时，□EPGQ是矩形． 此时 ∠AED+∠CEB =90°．
N 又∵∠DAE=∠EBC =90°，∴∠AED=∠BCE．
F B ∴△AED∽△BCE．????????????8分 C
ADAE?∴． P BEBCE G
xyy22设OA=x，AB=y，则∶=∶x，得y?2x．?10分 Q 222又 OA2?AB2?OB2，即x2?y2?12． ∴x2?2x2?1，解得x?3． 3O
D A 图②
M
Q
∴当OA的长为
3时，四边形EPGQ是矩形．????????????12分 3（3）如图③，连结GE交PQ于O?，则O?P?O?Q,O?G?O?E.．过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B?、A?．
PGPEGE2???, PFPCFC12111∴ PA?=A?B?=AB， GA?=GE=OA，
333311∴ A?O??GE?GA??OA．
26在Rt△PA?O?中，PO?2?PA?2?A?O?2，
由△PCF∽△PEG得，
NCGB'FPA'O'QEBPQABOAAOD， 又 AB2?OA2?1， ??4936图③ 122∴ 3PQ?AB?，
314∴ OA2?3PQ2?OA2?(AB2?)?．??????????????18分
33222即
M 6
2012年全国初中数学竞赛预赛试题及答案
