第十一章 第三节
2i22332 013
1．(2014·武汉调研)设复数x＝(i是虚数单位)，则C12 013x＋C2 013x＋C2 013x＋…＋C2 013
1－ix2 013＝( )
A．i
C．－1＋i
B．－i D．1＋i
2i22332 0132 013
解析：选C x＝＝－1＋i，C1＝(1＋x)2 013－12 013x＋C2 013x＋C2 013x＋…＋C2 013x
1－i＝i2 013－1＝i－1，故选C.
1
x2＋?n的展开式的各项系数和为32，则展开式中x的系数为2．(2014·太原模拟)已知?x??( )
A．5 C．20
B．40 D．10
11
x2＋?n的展开式的各项系数和为2n＝32，解得n＝5，则?x2＋?5展开式的解析：选D ?x?x???通项公式Tr＋1＝Crx2(5－r)·x－r＝Crx10－3r，令10－3r＝1，解得r＝3，则展开式中x的系数为5·5·
3＝10，故选D. C5
1
x2－?n的展开式中，常数项为15，则n的值可以为( ) 3．(2014·陕西五校模拟)?x??A．3 C．5
解析：选D 二项展开式的通项nn＝15，得n＝6.故选D.
2n－3r，当Tr＋1＝(－1)rCrnx
B．4 D．6
222
r＝n时为常数项，即(－1)3nC3
3
?x＋1?n
*4．(2014·长春调研)已知?3?(n∈N)的展开式中，前三项系数成等差数列，则展开
?2x?
式中的常数项是( )
A．28
735C. D. 168
B．70
11212001
解析：选C 展开式的前三项的系数分别为Cn，C1n，Cn，由题意得Cn＋Cn＝Cn，整理244得n2－9n＋8＝0，解得n＝8(n＝1舍去)．于是
8－r
Tr＋1＝Cr8x
?1?rr?1?r4r?3?＝C8?2?x8－3，若Tr＋1为常?2x?
4?1?6＝7.选C. 数项，则8－r＝0，r＝6，故常数项为T7＝C68
?2?163
?x＋1?30
5．(2014·东北三省联考)在?3?的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )
x??
A．4项 C．6项
5
B．5项 D．7项
15－r(0≤r≤30)，若展开式中x的幂指数为整数，由通项公解析：选C 由于Tr＋1＝Cr30x6
式可知r为6的倍数，易知r＝0,6,12,18,24,30均符合条件，故选C.
3
x＋?n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A6．在二项式?x??＋B＝72，则展开式中常数项的值为( )
A．6 C．12
B．9 D．18
解析：选B 令x＝1，得各项系数的和为4n，各项的二项式系数的和等于2n，由已知得
3333－r??r＝3rCrx－r，显然当r＝1方程4n＋2n＝72，解得n＝3.所以二项式的通项Tr＋1＝Cr(x)3322
?x?时是常数项，这个常数是9.
n6n2nn*27．若C220＝C20(n∈N)，且(2－x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx，则a0－a1＋a2－…＋(－
＋
＋
1)nan＝( )
A．81 C．243
B．27 D．729
n＋6＋2解析：选A 由C2＝Cn2020得2n＋6＝n＋2或2n＋6＝20－(n＋2)解得n＝－4(舍去)或n
＝4，而求表达式a0－a1＋…＋(－1)nan的值，只需将x＝－1代入(2－x)4，得34＝81.故选A.
8．(2014·福州调研)关于二项式(x－1)2 013有下列命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1；
2 007； ②该二项展开式中第六项为C62 013x
③该二项展开式中系数最大的项是第1 007项；
④当x＝2 014时，(x－1)2 013除以2 014的余数是2 013.其中正确的命题有( ) A．1个
B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C (x－1)2 013的展开式的通项为Tr＋1＝Crx2 013－r·(－1)r，所以该二项展开式2 013·中项的系数的绝对值就是二项式系数，且偶数项系数为负．
120111设f(x)＝(x－1)2 013＝x2 013－C2 013x2 012＋C2－…＋C2 012所以常数项f(0)＝－1，2 013x2 013x－1，
所有项系数为f(1)＝0，即非常数项的系数和为f(1)－f(0)＝1，故①正确；②为第7项，故②错误；③中因为n＝2 013，所以系数绝对值最大项为第1 007项和第1 008项，但第1 008项系数为负数，故第1 007项的系数最大，故③正确．④由展开式可知，除了常数项，其余每一项都含有2 014的因数，常数项为－1，所以余数为2 013，故④正确．故选C.
?x－1?
5
9．(2013·浙江高考)设二项式?3?的展开式中常数项为A，则A＝________.
x??
解析：－10
Tr＋1＝Cr5(
－x)5－r·
5－r5－rr?1?rrrr－rr
(－1)·x3＝(－1)C5x2－3＝(－1)rCr?3?＝C5x2·5
x??
15－5r
3＝－C2＝－10. x.令15－5r＝0，得r＝3，所以A＝(－1)3C55
6
10．(2014·保定调研)若(sin φ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则cos 2φ＝________. 32解析： 由二项式定理得，x3的系数为C35sinφ＝2， 513∴sin2 φ＝，cos 2 φ＝1－2 sin2φ＝.
5511．(2014·合肥调研)若?2x－?
1?n
的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常x?
数项为________．
解析：－160 由题意知，2＝64，解得n＝6，所以展开式的通项为
n
r
Tr＋1＝Cr6(2x)6－r
?－1?x??
r6－r3－r36－3＝－160. ＝Crx，令3－r＝0，得r＝3，所以展开式的常数项为C36(－1)26×(－1)×2
1
2x－?6的展开式中所有有理项的系数和等于12．(2014·江南十校联考)二项式?x??________．(用数字作答)
解析：365
Tr＋1＝Cr(26·
6－3r
rr－rrr6－r6－x)·(－1)·x＝(－1)C62x2，r＝0,1,2,3,4,5,6，当
r＝0,2,4,6
时，Tr＋1＝(－1)
r
6－3r
r6－r
C62x2为有理项，则所有有理项的系数和为
6244260
C062＋C62＋C62＋C62＝365.
13．(2014·温州十校联合体联考)在(1－2x)(1－3x)4的展开式中，x2的系数等于________．
高三数学理复习训练：二项式定理人教A版
