2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题16基本不等式的应用
考点命题分析
1综述 1.1高考定位
高考对基本不等式内容的考查主要有:理解基本不等式在不等式证明、函数最值求解方面的重要应用.试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.通过不等式的基本知识、基本方法在三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融会贯通，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生的数学素质及创新意识. 1.2应考策略
掌握高考考查基本不等式的常见题型，主要有以下四个方面:一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法)等；三是利用基本不等式构造不等式；四是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式解决.掌握利用基本不等式求最值时，要满足的三个条件，即一正，二定，三相等，而且求解时要逐一检验. 1.3知识解读
从知识的本质角度看.首先基本不等式是通过“x2≥0这个基本的数量不等式对x进行替换得到的；其次，反映了算术平均数与几何平均数之间的一种不等量关系；再次，基本不等式有很好的几何意义，用它可以很好地解决实际生活中的一些最大值与最小值问题.因此，基本不等式的内容对学生厘清数学知识内部联系与解决实际问题很有好处.
从知识的作用角度看.首先，由基本不等式可以推出许多重要的不等式，例如:当a>0，b>0时，有
等；其次，基本不等式是研究其他不等式的重要基础；再次，证明基本不等
式的方法是证明不等式的基本方法之一.因此，基本不等式本身及其证明方法为学生的后续学习奠定了基础. 从学生应用的角度看.学习和应用基本不等式有利于学生观察、分析、抽象、概括、归纳、总结等能力的培养，有利于学生对数学知识的整合，如:几何与代数的整合，信息技术与数学的整合等. 1.4常用变式
两边同
.
加
两边同除以a，两边同除以b，两边同除以ab，用－a代替a，用
代替a，b，
. . .
.
.
1.5应用方式
“应用基本不等式求最值”问题需要适当的情境，观察、分析、确定问题中的五个方面:最值的类型、运算的方式、数量的形式、数量的条件、数量的关系，之后才能规范、合理、正确地应用“基本不等式”解决相应的问题，即直接规范正确使用，间接变形合理使用，构造关系变式使用. 利用基本不等式
时，要注意“正、定、等”三要素，正，即x，y都是正数；定，即不等式另一边为
时，要注意“积定和最大，和定积最小”这一
定值；等，即当且仅当x=y时取等号.利用基本不等式
口诀，并且适当运用拆、拼、凑等技巧.特别应该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等号成立的条件是否同时成立.
2问题精解
2.1利用基本不等式求最值
要点:应用基本不等式求和的最小值或积的最大值；构造基本不等式满足的条件求最值. 2.1.1运用换元变换，简化条件关系 例1求函数
的最小值.
，发现
，即
思路探求:如果利用基本不等式
x2+3=2不成立，故不能直接运用基本不等式求解.
解法1:如果解题时无法满足直接应用基本不等式求最值的条件，可以通过换元，转化为相应的函数的最值.可以设t=x2+3(t≥3)，将“
”的最小值问题转化为“求函数
，
的最小值”.而函数
在内是单调递增函数，故当t=3时，函数取得最小值.
解法2:如果解题时无法满足直接应用基本不等式求最值需要的“定值”和“相等”就必须通过变形，变换出满足条件的形式结构. 可以将“
”变形为“
的最小值是.
”，
当且仅当t=3时，等号成立，故
解法3:如果解题时无法满足直接应用基本不等式求最值的条件，还可以运用函数的最值概念求最小值.
恒成立，当且仅当x2=0时，等号成立，故
最小值是.
方法点睛:基本不等式在求函数最值时具有重要价值，要注意构造应用基本不等式求最值的条件，同时要特别注意基本不等式应用的条件是否具备，特别是等号能否取到，在条件不满足的情况下是否能够求解或者转化.若等号取不到，要考虑借助函数图像，利用函数单调性求解最值. 2.1.2选择消元变形，构造数量关系 例2若正数a，b满足
，求
的最小值，并求此时a，b的值.
解法1:已知条件从形式上认为是两项之和，问题的类型是求最小值，所以根据基本不等式的结构特点，需要寻找乘积是定值的条件.将
变形为(a－1)(b－1)=1，故
，当且仅当
时，等号成立，此时
故
的最小值是4.
.
解法2:用基本不等式求最值的题目很多是以双变元条件下的最值的形式呈现的，采用消元将问题转化为单变量问题.在此基础上，或直接求最值，或换元法后求最值，都可以将难度有效降低.由
，故b>1.
，可以得到
因此小值是4. 解法3:由条件
，当且仅当b－1=2时，等号成立，此时，故的最
的形式联想到三角换元.令，代入，从而有
，当且仅当
的最小值是4.
时等号成立，此时，即，故
方法点睛:根据已知的条件形式，合理地选择方法，简洁准确地求解，是解决问题的重点和目标，需要总结、反思和积累.
2.1.3分析最值类型，转化结构关系 例3设x，y为实数，若
，则2x+y的最大值是
.
解法1:问题的运算从形式上理解是两项的和，类型是求最大值，所以根据基本不等式的结构特点，可以转化为两项积的最大值问题. 由而当
，故只要求xy的最大值即可. ，故xy的最大值是，所以
时，等号成立.所以2x+y的最大值是
.
，即
.
解法2:如果引入目标变量，令2x+y=t从解关于x，y的二元方程组角度理解，转化为求t的取值范围，使得x，y的方程组由判别式是
.此时
.
，
.
有解，消去y，得到关于x的一元二次方程构造目标变量的不等式，可以解得
有解，
，所以2x+y的最大值
解法3:利用配方变形得到故有
由(2x－y)2≥0，可知，当2x－y=0时等号成立，所以2x+y的最大值是.
方法点睛:总的来说，条件不等式求最值，消元法比凑项法简洁，而且消元法可以解决中学所涉及的多数条件不等式求最值问题.
2.2基本不等式在实际问题中的应用
要点:构造函数模型，利用基本不等式求实际问题中的最值问题.
例4：如图，有一块边长为1(hm)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设
.
(I)用t表示PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值.
(Ⅱ)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少(hm2)? 思路探求:将实际问题转化为数学问题，再求最值. 解:(I)
.
，
所以所以周长(Ⅱ)当且仅当
时，等号成立.
.
.
为定值.
，
.
所以探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为
方法点睛:实际应用题的解题步骤一般分为两步，第一步将实际问题转化为数学问题；第二步求最值，最值问题的求解一般有基本不等式法和导数法，应用基本不等式求最值时一定要注意检验条件是否具备. 2.3基本不等式与其他知识的综合应用
要点:(1)基本不等式与函数、方程的综合(2)基本不等式与解三角形的综合；(3)基本不等式与解析几何等其他知识的综合应用. 例5已知函数
.
(I)判断f(x)在区间(0，+∞)内的增减性，并证明你的结论； (Ⅱ)解关于x的不等式f(x)>0；
(Ⅲ)若f(x)+2x≥0在区间(0，+∞)内恒成立，求a的取值范围.
思路探求:(1)利用定义判断函数的单调性；2)利用分类讨论的方法解含参数的不等式；(3)利用分离参数的方法解不等式恒成立问题. 解:(I)任取
，且
.
则因为即
故f(x)在区间(0，+∞)内单调递减. (Ⅱ)由
得
.
，所以
.
. ，从而
.
当a>0时，解得0
综上，当a>0时，不等式的解集为{x|0
，解得a<0或
.
大于或等于即可.
，当且仅当x=1时，等号成立.
.
方法点睛:以函数、方程、解三角形、解析几何等知识为载体考查基本不等式求最值，是本部分内容中的常见题型.其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件. 3两点说明
3.1两次应用基本不等式时要检验两次等号能否同时取到 例6若点(1，－2)在直线ax－by－2=0(a>0，b>0)上，则
的最小值为
.
思路探求:因为点(1，－2)在直线ax－by－2=0(a>0，b>0)上.所以a+2b－2=0(a>0，b>0)，即
.
所以当且仅当
，即
，
时，等号成立，即
的最小值为
.
方法点睛:一般地，不宜同时应用两次基本不等式，原因是两次应用基本不等式时，容易遗忘两次的等号能否同时成立.事实上，两次等号成立的条件不同，即最后的等号取不到.如本题容易出现下面的错误解法:因为a+2b－2=0，a>0，b>0，所以a+2b=
.
即不到.
，所以，即的最小值为，因为两次等号不能同时成立，故最小值取
3.2要有应用基本不等式求中间变量范围的意识
例7已知二次函数f(x)=ax2－x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则
的最小值为
.
.
.
，则原式
，在t∈[1，+∞)内单调递增，所以当t=1时，取得最小值
思路探求:因为二次函数f(x)=ax2－x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，所以有又令10.
方法点睛:本题易错点是换元之后，不能准确给出新元的范围，没有利用基本不等式求出t的范围，也就是对基本不等式缺少应用意识，从而容易出现下面的错误答案，原式
，利用二次函数的图像可知
当t=－1时，取得最小值－6.所以学生要养成换元之后立即给出新元取值范围的习惯.
最新模拟题强化
1．若直线2ax?by?2?0(a?0,b?0)，被圆x2?y2?2x?4y?1?0截得弦长为4，则是（ ）． A．9 【答案】A 【解析】
圆的标准方程为：?x?1???y?2??4，故圆的半径为2.
22因为直线2ax?by?2?0被圆x?y?2x?4y?1?0截得弦长为4，
41?的最小值abB．4 C．
1 2D．
1 422所以直线必定经过圆心??1,2?，所以?2a?2b?2?0即a?b?1，
又
41?41?4ba??????a?b??5??， ab?ab?ab因为a?0,b?0，由基本不等式有
4ba??24?4， ab
当且仅当a?所以
21,b?时等号成立， 3341?的最小值为9， ab故选：A.
2．如果函数y?f?x?图象上任意一点的坐标?x,y?都满足方程lg?x?y??lgx?lgy，那么正确的选项是（ ）
A．y?f?x?是区间?0,???上的减函数，且x?y?4 B．y?f?x?是区间?1,???上的增函数，且x?y?4 C．y?f?x?是区间?1,???上的减函数，且x?y?4 D．y?f?x?是区间?1,???上的减函数，且x?y?4 【答案】C 【解析】
?x?0?Qlg?x?y??lgx?lgy?lgxy ??y?0
?x?y?xy??x?y?，解得：x?y?4 ?x?y?（当且仅当x?y时取等号）
?x?y?Qxy??????2??2?22xx?1?11??1??x?1? x?1x?1x?111当x??1,???时，y?为减函数 ?y?1?在?1,???上为减函数
x?1x?1由x?y?xy得：y?故选：C 3．设向量线，则
，
的最小值为（ ）.
，
，其中为坐标原点，
，若
三点共
A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【解析】 向量
，
，
，其中为坐标原点，
，
∴∵∴
三点共线，
，
，，
∴，解得，
∴当且仅当
，
取等号，故
，
的最小值为8，故选C.
4．如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的（ ）
A．最小长度为8 【答案】B 【解析】
B．最小长度为42 C．最大长度为8 D．最大长度为42
设BC?a,CD?b，
因为矩形的面积为4，所以ab?4， 所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为
2a?b?2a?当且仅当2a?故选：B.
44?22a??42， aa4,即a?2时，等号成立. a112x?15．已知函数f(x)?x ?x?sinx，若正实数a，b满f(4a)?f(b?9)?0，则?的最小值是（ ）
ab2?1A．1
B．
9 2C．9 D．18
【答案】A 【解析】
?2x?1?2?x?12x?1f?x??x?sinx???x?sinx因为f?x??x，所以???x?sinx?x???f?x?， ?x2?12?1?2?1?所以函数f?x?为奇函数，又若正实数a,b满f?4a??f?b?9??0，所以4a?b?9?0，
所以
111?11?1?b4a?1?b4a?1??????4a?b???4???1???5????5?24?1， ab9?ab?9?ab9ab???9??当且仅当故选A
b4a?，即b?2a?3时，取等号. ab6．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A．采用第一种方案划算 C．两种方案一样 【答案】B 【解析】
任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．
B．采用第二种方案划算 D．无法确定
30m?30nm?n??mn；
6024002mn??mn. 第二种方案的均价：200200m?n?mn第一种方案的均价：
所以无论油价如何变化，第二种都更划算． 故选:B
7．在1和17之间插入n?2个数，使这n个数成等差数列，若这n?2个数中第一个为a，第n?2个为b,当
125?取最小值时，n的值为（ ） abB．7
C．8
D．9
A．6 【答案】D 【解析】
由已知得a?b?18，
则
125?125?a?b1?b25a?1????????1?25?????26?10??2， ab?ab?1818?ab?18所以当且仅当b?5a时取等号，此时a?3，b?15，可得n?9.故选D.
8．已知在锐角?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC?ccosB，则
111??的最小值为（ ） tanAtanBtanCA．27 3B．5 C．7 3D．25 【答案】A 【解析】
∵2bcosC?ccosB，∴2sinBcosC?sinCcosB， ∴tanC?2tanB.又A?B?C??，
∴tanA?tan?????B?C?????tan?B?C???tanB?tanC3tanB3tanB???，
1?tanBtanC1?2tan2B2tan2B?1271112tan2B?111?tanB?∴. ?????6tanBtanAtanBtanC3tanBtanB2tanB3又∵在锐角?ABC中, tanB?0,∴
272727，当且仅当tanB??2tanB??36tanB36tanB3tanB?7时取等号， 2∴?11?27?1???，故选A. ?3?tanAtanBtanC?min9．设?ABC的内角为A，B，C，AD?BC于D．若?ABC外接圆半径等于AD，则sinB?sinC的最小值是( ) A．2 【答案】A 【解析】
解：在Rt?ACD中，由sinC?B．2
C．3 D．1
AD， b设圆的半径为R，则AD?R，
sinC?R1?，
2RsinB2sinB112…2g?2，当且仅当2sin2B?1，即sinB?时，取等号， 2sinB22由sinB?sinC?sinB?故选：A．
10．已知数列?an?是正项等差数列，在VABC中，BD?tBC，若AD?a3AB?a5AC，则a3a5的（t?R）最大值为（ ） A．1 【答案】C 【解析】
解：∵BD?tBC，故B，C，D三点共线，
B．
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv1 2C．
1 4D．
1 8uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv又∵AD?a3AB?a5AC，
∴a3?a5?1，
数列?an?是正项等差数列，故a3＞0，a5＞0 ∴1?a3?a5?2a3?a5，解得：a3a5?故选C．
11．半圆的直径AB?4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则
1， 4?uuuruuuruuurPA?PB?PC的最小值是（ ）
?A．2 【答案】C 【解析】
B．0 C．-2 D．4
uuuvuuuv2?PO?PC?uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv???2,等号在画出图像如下图所示，PA?PB?PC?2PO?PC??2PO?PC??2???2????uuuvuuuvPO?PC，即P为OC的中点时成立.故选C.
12．已知x?0，y?0，z?0，且A．8 【答案】D 【解析】
B．9
91??1，则x?y?z的最小值为（ ） y?zxC．12
D．16
Qx>0，y?0，z?0，?x?y?0且
91??1， y?zx所以，x?y?z???x??y?z?????19?9xy?z9xy?z??10???10?2??16， ?xy?zy?zxy?zx??当且仅当
9xy?z?时，即当y?z?3x时，等号成立， y?zx因此，x?y?z的最小值为16. 故选：D.
13．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S?p(p?a)(p?b)(p?c)求得，其中p为
三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a?6，b?c?8，则此三角形面积的最大值为（ ） A．37 【答案】A 【解析】 由题意p?7，
B．8
C．47 D．93
S?7?7?a??7?b??7?c??7?7?b??7?c??7?当且仅当7?b?7?c，即b?c时等号成立， ∴此三角形面积的最大值为37，故选A． 14．若正实数x,y满足x?y?1，则
7?b?7?c?37，
241?的最小值为( ) x?1yC．
A．
44 7B．
27 514 3
D．
9 2
【答案】D 【解析】
Qx>0，y?0，x?y?1，?x?1?y?2， 41x?1?y?41?1?4yx?1?19????????1?4???5?24? ?x?1y2x?1y?22?x?1y?2???12
(当且仅当x?，y?取等号)，故选D．
33
15．已知x?0，函数f(x)?A．-2 【答案】B 【解析】
?ex?a???e?a?2?x2的最小值为6，则a?（ ）
D．2
ex?e?xC．1或-7
B．-1或7
f?x??e2x?e?2x?2aex?e?x?2a2e?e?xx?x?? ??ex?e?x?2?2aex?e?x?2a2?2e?ex?x??
2a2?2（当且仅当ex?e?x?2a2?2时等号成立）， ?e?e?x?x?2a ?22a2?2?2a?6，
e?ex即a2?6a?7?0，解得a??1或7. 故选B.
16．已知函数f?x??cosx?ln?x，若??x????2???2018??f??f?L?f?????? 201920192019??????11
1009?a?b?ln?（a?0,b?0)，则?的最小值为（ ）
ab
A．2 【答案】A 【解析】
由题可知：f?x??f???x??cosx?lnB．4
C．6
D．8
????x??x?cos???x??ln?ln?2?2ln? ??xx令S?f?????2???2018???f?L?f?????
201920192019??????
又S?f??2018??2019??2017??????f?L?f?????
20192019?????于是有2S?2ln??2ln??????2ln??2?2018ln? ?S?2018ln? 因此a?b?2 所以
111?11?1?ab?1??????a?b???2?????2?2??2 ab2?ab?2?ba?2当且仅当a?b?1时取等号 本题正确选项：A
17．在平面直角坐标系中，A(?4,0), B(?1,0)，点P(a,b)(ab?0)满足|AP|?2|BP|，则值为（ ） A．4 【答案】D 【解析】
∵点P?a,b?（ab?0）满足AP?2BP，
B．3
C．
41?的最小a2b23 2D．
9 4（a?4)+b2=4（∴AP=BP，即?a?1?+b2]，
2222化简得a+b=4，
224184b2a24ba22则(2?2)(a+b)=4+1+2+=5+4=9，（当且仅当a2?2b2=等号成立） ?5?2nab3ab2a2b222
∴
419?的最小值为, 22ab4故选D.
18．已知数列?an?是各项均为正数的等比数列，Sn为数列?an?的前n项和，若S2?a2?S3?3，则a4?3a2的最小值为（ ） A．9 【答案】D 【解析】
由S2?a2?S3?3得a2?S3?S2?3?a3?3，所以a1q?a1q?3,a1?2B．12 C．16 D．18
3?0?q?1.所以2q?q
a4?3a2?a1q3?3a1q?3?q3?3q?q?q2?3?q2?3?q?1?q?1??3?2?4??2?q?1??4?3??q?1???6?q?1?q?1??3?2?q?1??44?q?3?1时取得最小值. ?6?18.当且仅当q?1?q?1q?1故选：D
19．已知两圆x2?y2?4ax?4a2?4?0和x2?y2?2by?b2?1?0恰有三条公切线，若a?R，b?R，且ab?0，则A．3 【答案】B 【解析】
2222解：由题意得两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x?2a)?y?4，x?(y?b)?1，圆心分别为
11?的最小值为（ ） a2b2B．1
C．
4 9D．
1 9(?2a,0)，(0,b)，半径分别为2和1 ?4a2?b2?3
?4a2?b2?9
11114a2?b25b24b254?2?2?(2?2)??+2?2???1 abab999a9a99b24b2当且仅当2?时，等号成立， 29a9a?11??1 22ab故选B
20．过抛物线C：y2?4x焦点的直线交该抛物线C于点A，B，与抛物线C的准线交于点P，如图所示，则PA?PB的最小值是（ ）
uuuruuur
A．8 【答案】C 【解析】
B．12 C．16 D．18
因为双曲线的焦点F(1,0),
所以设直线AB的方程为y?k(x?1),A(x1,y1),B(x2,y2) ,则P(?1,?2k),
22222将y?k(x?1)代入到y?4x,整理得kx?(2k?4)x?k?0,
2k2?44k2则x1?x2??2?2,x1x2?2?1, 2kkk所以y1?y2?k(x1?1)?k(x2?1)?k(x1?x2)?2k?uuuruuur所以PA?PB?(x1?1,y1?2k)?(x2?1,y2?2k)?(x1?1)(x2?1)?(y1?2k)(y2?2k)
?x1x2?x1?x2?1?y1y2?2k(y1?y2)?4k2
4,y1y2??4x1?4x2??16x1x2??16??4, k?1?2?442?1?4?2k??4k 2kk44422?4k2,即k??1时取得等号. ,当且仅当?2?4k?8?22?4k?8?8?8?16kkk2故选:C
21．在锐角?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，?ABC的面积为S，若sin(A?C)?2S，则22b?ctanC?1的最小值为（ ）
2tan(B?C)B．2
C．1
D．22 A．2 【答案】A 【解析】
2S2SsinB?，即， 2222b?cb?cacsinB所以sinB?2，因为sinB?0， 2b?c因为sin(A?C)?所以b2?c2?ac，由余弦定理b2?a2?c2?2accosB， 可得a?2ccosB?c，
再由正弦定理得sinA?2sinCcosB?sinC，
因为sinA?2sinCcosB?sin(B?C)?2sinCcosB?sin(B?C)， 所以sin(B?C)?sinC，所以B?C?C或B?C?C??， 得B?2C或B??（舍去）.因为?ABC是锐角三角形，
??0?C??2?????3所以?0?2C?，得?C?，即tanC?(,1)，
2643???0???3C??2?所以tanC?11?tanC??2，
2tan(B?C)2tanC2，取等号. 2当且仅当tanC?故选:A
22．在?ABC中，点P满足BP?3PC，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若
uuvuuuvruuuruuuuruuuruuuAM??AB，AN??AC???0,??0?，则???的最小值为（ ）
A．
2?1 2B．
3?1 2C．
3 2D．
5 2【答案】B 【解析】
如下图所示：
uuuruuuruuuruuuruuur1uuur3uuuruuruuurQBP?3PC，即AP?AB?3AC?AP，?AP?AB?AC，
44??r1uuuruuur1uuuruuuruuuruuuruuuruuuQAM??AB，AN??AC???0,??0?，?AB?AM，AC?AN，
??uuurr1uuur3uuu13?AP?AM?AN，QM、P、N三点共线，则??1.
4?4?4?4??13?3??3??3???????????????1?2??1??1， ?4?4?4?4?4?4?2??3?1??3????当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为2，故选B.
23．抛物线线段A．
的焦点为，准线为，
是抛物线上的两个动点，且满足
．设
的中点在上的投影为，则 B． C．
D．
的最小值是( )
【答案】C 【解析】 因
，故
，由基本不等式可得
即，应选答案C。
24．已知角?,?的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，?,?终边上分别有点A(1,a)，B(2,b)，且??2?，则
1?b的最小值为（ ） a
A．1 【答案】C 【解析】
B．2 C．3 D．2
由已知得，tan???，tan??b，因为??2?，所以tan??tan?2??， 2b224b14?b13b13b2，a?所以a?，所以?b??b???2??3， 2?b?4?ba4bb4b41????2?2?当且仅当
13b23?，b?时，取等号. b43an1?(n?N?) ，则下列关于{an}的判断正确的是（ ) 2an25．已知数列{an}满足：a1?a，an?1?A．?a?0,?n≥2,使得an?2 B．?a?0,?n≥2,使得an?an?1
C．?a?0,?m?N?,总有am?an(m?n) D．?a?0,?m?N?,总有am?n?an 【答案】D 【解析】
对于选项A，由于a?0，故an?0恒成立，则an?1?故不存在an?2的项，选项A说法错误；
an1a1??2n??2， 2an2anan?111an?111????2?1，即an?1?an，选项B对于选项B，由于2，结合选项A可知an?2，故an2anan2an说法错误；
对于选项C，构造函数f(x)?x111?x?2，则f'?x???2?0，则函数f?x?在区间??2,??上2x2x???单调递增，则不存在m?N?满足am?an，选项C说法错误；
对于选项D，令a1?2，则a2?a1121????2?a1，此时数列?an?为常数列，故2a122?a?0,?m?N?,总有am?n?an，选项D说法正确.
故选D.
uuuruuuruuur126．已知O为?ABC的外心，且cosA?，若AO??AB??AC，则???的最大值为______.
33【答案】
4【解析】
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurQAO??AB??AC??OB?OA??OC?OA
????uuuruuuruuur??????1?OA??OB??OC ?????1?0，即????1
17QcosA? ?cos?BOC?cos2A?2cos2A?1??
39设?ABC外接圆半径为R
则?????1?R??R??R?2??Rcos?BOC??R??R?22222222222?????整理可得：18??????9?32???9?32?? ?9?8???????2?2214??R2 9解得：????故答案为：
333或????（舍） ????的最大值为 4243 422227．已知圆C1：x?y?2mx?4y?m?n?4?0?0?n?4?与圆C2：x2??y?1??4相内切，则
2m2?n的最小值为______.
【答案】1 【解析】
C1：?x?m???y?2??n?0?n?4?，圆心?m,2?，r?n，
22
C2：x2??y?1??4，圆心?0,1?，r=2，
2圆C1，C2内切，∴m2?1?2?n，∴m2?1?n?2，∴
m2?1?nm2?1?nm2?1?n2?2??2??1，即m2?n?1，
222当且仅当即m2?1?n时等号成立，因此m2?n的最小值为1. 故答案为：1．
28．已知x?0，y?0，则
2xyxy?的最大值是______.
x2?8y2x2?2y2【答案】【解析】
2 3x4y3(?)332xyxy3xy?12xyyx???由题意，2
x?8y2x2?2y2x4?10x2y2?16y4(x)2?16(y)2?10yxx4yx4y3(?)3(?)yxyx??x4yx4y2， (?)2?2(?)?x4yyxyx?yx设t?x4yx4yx4yx4y??2??4，当且仅当?，则t??，即x?2y取等号，
yxyxyxyx2在[4,??)上单调递增， t2929所以y?t?的最小值为，即t??，
t2t2x4y3(?)32yx??223， 所以x4y(?)?t?x4yyxt?yx又由y?t?所以
2xyxy2?. 的最大值是
x2?4y2x2?2y232. 3
故答案为：
29．设a?b?2019，b?0，则当a?______时，【答案】?【解析】
a1?取得最小值.
2019ab2019 2018aaaa1a?bab12b??????????，当且仅当
2019ab20192ab20192a20192ab20192201920192ab且a?0时等号成立，即a??故答案为：?2019. 20182019 201832的最小值为_?sinAsinC30．在?ABC中，设角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2a,b,c成等差数列，则_______. 【答案】2【解析】
?3?1
?由题得
2b?2a?c,?cosB?a?c?b?2ac222a2?c2?(2ca?)2, 222ac132123222a2?c2?aca?c?ac所以6?2, 24242cosB?2??2ac2ac4所以0?B?750,?0?sinB?6?2, 4因为
2sinB?2sinA?sinC,?2sinA?sinC?6?22sinA?sinC,??1. 26?2242?2sinA3sinC?sinCsinA
6?22所以
32?(3?2)?2sinA?sinC??sinAsinC6?2sinAsinC2
42?2?2sinA3sinC?sinCsinA?42?26?2(3?1). 6?26?222故答案为2?3?1
41?的最小值为__________． x?2y?1?31．已知正数x,y满足x?y?1,则【答案】3 【解析】
由题可知：x?1?y?1?3，故
41?41?1????x?1?y?1?=???????3=x?1y?1?x?1y?1???y?1x?1?14?4???1???3当且仅当x=y时取得等号 ?x?1y?1??332．已知m?0，m?17?1，直线l1:y?m与函数y?log4x的图像从左至右相交于点A,B，直线24与函数y?log4x的图像从左至右相交于点C,D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分m?1b别为a,b，当m变化时，的最小值是__________.
al2:y?【答案】64 【解析】
设A,B,C,D各点的横坐标分别为xA,xB,xC,xD, 则?log4xA?m,log4xB?m,?log4xC?所以x?4?m,x?4m,x?4ABC?4m?144，log4xD?， m?1m?14m?1,xD?4，
因为a?xA?xC,b?xB?xD，
b所以?a4?44?m?4m4m?1?4m?1?4m?4m?1，
又m?0,?m?444?m?1??1?2(m?1)??1?4?1?3，当且仅当m?1取等号，所以m?1m?1m?1b?43?64， a故答案为64.
c3?c?233．已知ac?2b?0，则a?的最小值是_________. ?2b(ac?2b)2c?224c2?1??【答案】17 【解析】
8c2?1由2bac?2b??????8c2?1??2b?ac?2b2()2?32c2?1a2c??，
当且仅当2b＝ac?2b时取等号，
332c2?11321?c2c?c?21c122??a??c??2a??2??2×8+1则a2?222222c?2ac21?cca21?cbac?2b4c2?1???????＝17 当且仅当a2?32c2?1ca2??，c?212即a?22,b?,c?1时取等号 1?c22故答案为：17
34．已知对任意实数x，二次函数f?x??ax?bx?c恒非负，且a?b，则M?2a?b?c的最小值是__
b?a__ 【答案】3 【解析】
2由于二次函数f?x??ax?bx?c恒非负，所以a?0,b?4ac?0，所以4ac?b2，
2b2. 而0?a?b，故c?4ab222a?b?b3a?b?a?????4?b?a??3a，当且仅当3a?b?a,c?，即所以M?a?b?c?4a????34ab?ab?a4a?b?a?4a?b?a?
c?b?4a时，等号成立.故答案为3.
35．已知正项等比数列{an}，满足a4?a3?2(a2?a1)?8，则a6?a5的最小值是_____ 【答案】64 【解析】
a4?a3?2(a2?a1)?a1q3?a1q2?2?a1q?a1??8?a1?82q?2? ?2?q?1??q?2?aa5?a448q46?5?a1q1q?a1q?q+1?=q2?2
2设t?q2?2?t?0? 则a8?t?2??4?6?a5?t?8?t??4???64
?t当t?4t即t?2时成立，此时q?2,a41?3 故答案为：64
2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题16基本不等式的应用（解析版）
