北师大版初中数学知识点总结(1)

时，x a ... b , x

a , b，当b<0时，方程没有实数根。

2、 配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应 用。配方法的理论根据是完全平方公式 则有 x2 2bx b2 (x b)2。

a2 2ab b2 (a b)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替,

3、 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

K

: K 厶

/ a c

一兀二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的求根公式： x ——

' ----------- (b2 4ac 0)

2a

4、因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二 次方程最常用的方

法。

考点四、一元二次方程根的判别式

根的判别式：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)中，b2 4ac叫做一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的

”来表示，即 b2 4ac

根的判别式，通常用“

> 0，方程有两个不相等的实数根

v 0，方程没有实数根

=0，方程有两个相等的实数根 考点五、一元二次方程根与系数的关系

b

如果方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根是x1? x2，那么x1 x2 何一个有实数根的一元二次方程， 等于常数项除以二次项系数所得的商。 考点六、分式方程

, x1x2

c

。也就是说，对于任

a a

两根之积

两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；

1、 分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、 分式方程的一般方法：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”

(1) 去分母，方程两边都乘以最简公分母 (2) 解所得的整式方程

(3) 验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

。它的一般解法是：

3、 分式方程的特殊解法

换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想， 易解决时，可考虑用换元法。 考点七、二元一次方程组

其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，

一般的去分母不

1、 二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是 1的整式方程叫做二元一次方程。

2、 二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 3、 二元一次方程组：两个(或两个以上)二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

4、 二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次 方程组的解。 5、 二元一次方正组的解法：(1)代入法(2)加减法

6、 三元一次方程：把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是

1的整式方程。

7、 三元一次方程组：由三个(或三个以上)一次方程组成，且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。

第四章不等式（组）

考点一、不等式的概念

（3分）

1、 不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

6

2、 不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

3、 用数轴表示不等式的方法

考点二、不等式基本性质

1、 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、 不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 考点三、一元一次不等式 1、 一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是

这样的不等式叫做一元一次不等式。

1,且不等式的两边都是整 式，

2、 一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤： 考点四、一元一次不等式组

（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1

1、 一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

2、 一元一次不等式组的解

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2 ）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

第五章统计初步与概率初步

考点一、平均数

1、平均数的概念

1 （1） 平均数：一般地，如果有 n个数X1,X2, ,Xn,那么，x （x1 x2

读作“ x拔”。

（2） 加权平均数：如果n个数中， 次，X2出现f2次，…，Xk出现fk次（这里f2

n

xn）叫做这n个数的平均数，x

X1出现f1fk n ）,

—

2 2 k k

x f

那么，根据平均数的定义，这 n个数的平均数可以表示为 x —

x f x f

，这样求得的平均数 x叫做

n

加权平均数，其中 f1, f2,

, fk叫做权。

2、平均数的计算方法

（1 ）定义法：当所给数据 X1, X2, , Xn,比较分散时，一般选用定义公式：

x

1

（x1 x2 n

xn）

（2 ）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：

x X1 f1 X2 f2 ------------ 沁，其中

7

考点二、统计学中的几个基本概念

1、 总体 所有考察对象的全体叫做总体。 2、 个体 总体中每一个考察对象叫做个体。

3、 样本 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4、 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。

5、 样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。

6、 总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均 考点三、

众数、中位数

数。

1、 众数：在一组数据中，出现 次数最多的数据叫做这组数据的众数。

2、 中位数：将一组数据 按大小依次排列， 把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 组数据的

中位数。 考点四、方差

叫做这

1、方差的概念

在一组数据

x1, x2,

1[(

,xn,中，各数据与它们的平均数 x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。

(

通常用“ s2 ”

2

s表示，即:

X1 x)2

n

X2 x)2

(Xn X)2]

2、标准差

方差的算数平方根叫做这组数据的标准差,

用“ S”表示，即 s s2

、1[(X1

V n

X)2 (X2 X)2

(Xn X)2]

考点五、频率分布

1、 频率分布的意义 在许多问题中，只知道平均

数和方差还不够，

还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小,

这就需要

研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。

2、 研究频率分布的一般步骤及有关概念

① 极差 最大值与最小值的差 ② 频数 落在各个小组内的数据的个数 ③ 频率 每一小组的频数与数据总数(样本容量 考点六、确定事件和随机事件

n)的比值叫做这一小组的频率。

1、 确定事件

必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。

2、 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。 考点七、随机事件发生的可能性

对随机事件发生的可能性的大小，

我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。

判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性(概率)是否一样。

要评

所谓判断事件可能性是 否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。 考点八、概率的意义与表示方法

1、概率的意义：一般地，在大量重复试验中，如果事件

常数p就叫做事件A的概率。

A发生的频率—会稳定在某个常数

m

p附近，那么这个

2、事件和概率的表示方法：一般，事件用英文大写字母 考点九、ABC…，表示事件 A的概率p,可记为P (A) =P

确定事件和随机事件的概率之间的关系

1、 确定事件概率

(1 )当A是必然发生的事件时， (2)

P (A) =1

当A是不可能发生的事件时， P (A) =0

2、 确定事件和随机事件的概率之间的关系

事件发生的可能性越来越小

0 ------------------------------------------- 1概率的值

8

不可能发生 ------------------------- 必然发生 事件发生的可能性越来越大 考点十、古典概型

1、 古典概型的定义：某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种 结果发生的可能性相

等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。

2、 古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次试验中，有 n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 那么事件A发生的概率为P（A）=m 考点、列表法求概率

A包含其中的m中结果,

n

1、 列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2、 列表法的应用场合：当一次试验要设计 两个因素，且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可 能的结果，通常采

用列表法。

考点十二、树状图法求概率

（10分）

1、 树状图法：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

2、 运用树状图法求概率的条件：当一次试验要设计 三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏 地列出所有可能的

结果，通常采用树状图法求概率。 考点十三、利用频率估计概率（8分）

1、 利用频率估计概率：在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数， 可以估计这个事件

发生的概率。

2、 在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实 验。 3、 随机数：在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据 称为随机数。

第六章一次函数与反比例函数

考点一、平面直角坐标系

1、 平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做 x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做

y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交

点0 （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置， 限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，

分别叫做第一象限、 第二象

2、 点的坐标的概念

点的坐标用（a, b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有\， 平面内点的坐标是有序实数对，当 考点二、不同位置的点的坐标的特征

”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

a b时，才和（b, a）是两个不同点的坐标。

（3分）

1、 各象限内点的坐标的符号特征

点P（x,y）在第一象限 点P（x,y）在第三象限

x 0, y x 0,y

0 ；点P（x,y）在第二象限 0 ；点P（x,y）在第四象限

x x

0, y 0 0, y 0

2、 坐标轴上的点的特征

9

点P（x,y）在x轴上 y 0, x为任意实数；点 P（x,y）在y轴上 x 0, y为任意实数 点P（x,y）既在x轴上，又在y轴上 x, y同时为零，即点 P坐标为（0, 0）

3、 两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P（x,y）在第一、三象限夹角平分线上 点P（x,y）在第二、四象限夹角平分线上

y=x y=-x

4、 和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的 横坐标相同。

5、 点到坐标轴及原点的距离

点P（x,y）到坐标轴及原点的距离：

（1 ）点P（x,y）到x轴的距离等于 y ;（ 2）点P（x,y）到y轴的距离等于 X ;（3）点P（x,y）到原点的距离等于...x2 考点三、函数及其相关概念

y2

1、 变量与常量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量 说x是自变量，y是x的函数。

x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就

2、 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、 函数的三种表示法及其优缺点

（1） 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示。 （2） 列表法：把自变量 x的一系列值和函数 y的对应值列成一个表来表示函数关系。 （3） 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法

。

4、 由函数解析式画其图像的一般步骤

（1 ）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2） 描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3） 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 考点四、正比例函数和一次函数

（3~10分）

1、 正比例函数和一次函数的概念：一般地，如果 y kx b（ k，b是常数，k 0），那么y叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数

y kx b中的b为0时，y kx （k为常数，k 0）。这时，y叫做x的正比例函数。

2、 一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线 3、 一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数

y kx b的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数

y kx的图像是经过原点（0，0）的直线。

k的符号 b的符号 函数图像 图像特征 y / b>0 / / --------- 图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。 k>0 1 b<0 图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。 产