运用米勒定理简解最大角问题
1.米勒问题和米勒定理
1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题:在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长,即在什么部位，视角最大,最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下:
米勒问题:已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的动点，则当在何处时，角ACB最大,
对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。
米勒定理:已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边相切于点时，角ACB最大。
,证明:如图1，设是边上不同于点的任意一点，连结，因为角AC
,B是圆外角，角ACB是圆周角，易证角ACB小于角ACB，故角ACB最大。
图,
根据切割线定理得，，即，于是我们有:角ACB最大等价于三角形ABC的外圆与边相切于点。 等价于等价于
2.米勒定理在解题中的应用
最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用
米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。
2.1用米勒定理确定最大视角的点的位置
例1(1986年全国高考数学试题理科第五大题)如图2，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上给定两定点，试在轴的正半轴上求一点，使取得最大值。
图,
分析:这是一道较早的“米勒问题”的高考题，该题背景简单解题思路入口宽解法多样，是一道难得的好题。若用米勒定理求解则可一步到位，轻而易举地拿下此题
简解:设，由米勒定理知，当且仅当时，
最大，故点的坐标为
例2 如图3，足球场长100米，宽60米，球门长7.2米,有一位左边锋欲射门,应在边
的何处才使射门角度最大?
解:依题意，由米勒定理知当
(米) 时，最大。故边锋应在边距约米处射门才能使射门角度最大。
图3 图4
图5
例3(2004年全国数学竞赛试题)在直角坐标系中，给定两点，在轴的正半轴上求一点，使最大，则点的坐标为,,,,。
运用米勒定理简解最大角问题
