令a?|x?104|,b?|y?104|, 则a2?b2?21632 因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9
由a2?b2?21632知a2,b2的个位数只能是1和1或6和6； 当a2,b2的个位数是1和1时，则a,b的个位数字可以为1或9
但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与a2?b2的十位数字为3矛盾。 当a2,b2的个位数是6和6时，则a,b的个位数字可以为4或6。
由105?b?147，取b＝106，114，116，124，126，134，136，144，146代入a2?b2?21632?|x?104|?56?x?48?x?160得，只有当b＝136时，a=56，即? 解得? ,?|y?104|?136y?32y?32???三、解答题（共4题，每题15分，满分60分） （k?0）11．在直角坐标系xOy中，一次函数y?kx?b的图象与x轴、y轴的正半轴分别
交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于OA?OB?3． （1） 用b表示k； （2） 求△OAB面积的最小值． 解：（1）令x?0，得y?b，b?0；令y?0，得x??b?0，k?0． kb（?，0)，B(0，b)，于是，△OAB的面积为 所以A，B两点的坐标分别为Ak1bS?b?(?)． 2k1bb由题意，有 b?(?)???b?3，
2kk2b?b2解得 k?，b?2．?????? 5分
2(b?3)1bb(b?3)(b?2)2?7(b?2)?10? （2）由（1）知 S?b?(?)?
2kb?2b?2?b?2?当且仅当b?2?10102?7?(b?2?)?7?210≥7?210， b?2b?210时，有S?7+210，即当b?2?10，k??1时，不等式中的等号成立． b?2 所以，△ABC面积的最小值为7?210． ?????? 15分
12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2?qx?p?0有有理数根？
解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令??q2?4p2?n2，
其中n是一个非负整数．则(q?n)(q?n)?4p2． ?????? 5分
由于1≤q?n≤q+n，且q?n与q?n同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：
?q?n?2， ?2?q?n?2p，2?q?n?4， ?2?q?n?p，p?q?n?， ?p?q?n?4，p?q?n?p2，?q?n?2， ? ?p?q?n?4.?q?n?2，p25pp2消去n，解得q?p?1， q?2?， q?， q?2p， q?2?．?????? 10分
222对于第1，3种情形，p?2，从而q＝5；对于第2，5种情形，p?2，从而q＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）． 1又当p?2，q＝5时，方程为2x2?5x?2?0，它的根为x1?，x2?2，它们都是有理数．
2综上所述，存在满足题设的质数?????? 15分 ★12、已知a,b为正整数，关于x的方程x?2ax?b?0的两个实数根为x1，x2，
关于y的方程y?2ay?b?0的两个实数根为y1，y2，且满足x1?y1?x2?y2?2008. 求b的最小值.
另解：由韦达定理，得 x1?x2?2a, x1?x2?b；y1?y2??2a, y1?y2?b
22?y1?y2??2a??(x1?x2)?(?x1)?(?x2)即? , (?x2)?y1?y2?b?(?x1)??y1??x1?y1??x2解得：? 或??y2??x2?y2??x1把y1,y2的值分别代入x1?y1?x2?y2?2008 得x1?(?x1)?x2?(?x2)?2008 或x1?(?x2)?x2?(?x1)?2008（不成立） 即x2?x1?2008，(x2?x1)(x2?x1)?2008
因为x1?x2?2a?0, x1?x2?b?0 所以x1?0, x2?0
于是有 2a?4a?4b?2008 即a?a?b?502?1?502?2?251
2222
?a?1?a?505?a?2?a?251因为a,b都是正整数，所以?2 或?2或?2或?222?a?b?502?a?b?1?a?b?251?a?b?4?a?1?a?502?a?2?a?251分别解得：? 或?或?或?2222?b?1?502?b?502?1?b?2?251?b?251?4?a?502?a?251经检验只有：?符合题意. ， ?22?b?502?1?b?251?4所以b的最小值为：b最小值?251?4＝62997
13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．
解：存在满足条件的三角形．
当△ABC的三边长分别为a?6，b?4，c?5时，?A?2?B．?????? 5分 如图，当?A?2?B时，延长BA至点D，使AD?AC?b．连接CD，则△ACD为等腰三角形．因为?BAC为△ACD的一个外角，所以?BAC?2?D．由已知，?BAC?2?B，所以
?B??D．所以△CBD为等腰三角形． 2又?D为△ACD与△CBD的一个公共角，有△ACD∽△CBD，于是
ADCDba?， 即 ?， CDBDab?c所以 a2?b?b?c?． 而6?4?(4?5)，所以此三角形满足题设条件， 故存在满足条件的三角形． ?????? 15分 说明：满足条件的三角形是唯一的． 若?A?2?B，可得a2?b?b?c?．有如下三种情形： （i）当a?c?b时，设a?n?1，c?n，b?n?1（n为大于1的正整数）， 代入a2?b?b?c?，得?n?1???n?1??2n?1?，解得n?5，有a?6，b?4，c?5；
22（第13（A）题答案）
（ⅱ）当c?a?b时，设c?n?1，a?n，b?n?1（n为大于1的正整数）， 代入a2?b?b?c?，得n2??n?1??2n，解得 n?2，有a?2，b?1，c?3，此时不能构成三角形；
（ⅲ）当a?b?c时，设a?n?1，b?n，c?n?1（n为大于1的正整数）， 代入a2?b?b?c?，得?n?1?2?n?2n?1?，即 n2?3n?1?0，此方程无整数解．
所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件．
★13、如图，△ABC的三边长BC?a, AC?b, AB?c, a,b,c都是整数，且a,b
的最大公约数是2。点G和点I分别为△ABC的重心和内心，且?GIC?90?，求△ABC的周长.
另解：如图，连结GA，GB，过G，I作直线交BC、AC于点E、F，作△ABC的内切圆I，切BC边于点D。记△ABC的半周长为P，内切圆半径为r，BC，AC边上的高线长为ha,hb
?S?ABC?rp?p(p?a)(p?b)(p?c) AFcGBIraEDCb(p?a)(p?b)(p?c) ?r?pr2易知：CD?p?c,在Rt?CIE中，DE?
p?c(p?a)(p?b)即DE?
p∴CE?CD?DE?(p?c)?(p?a)(p?b)ab? pp又∵CI?EF,CI平分?ACB，所以CE＝CF 由S?ABC?S?ABG?S?BEG?S?AFG?S?FEC 得：S?ABC＝S?ABC1abh1abh1ab??（a?)?a??（b?)?b?2???r 32p32p32pS?ABC1p?b1p?aab即S?ABC＝?(?a?ha)??(?b?hb)??2?rp
323p23pp整理得 2p?cp?3ab，即3ab?2p?cp?p(2p?c)?P(a?b) 设△ABC的周长为m，则m?2p?226ab为整数。 a?b12st s?t由已知(a,b)?2，设a?2s,b?2t,且(s,t)?1,s,t都是正整数，代入上式，得m?∵(s,s?t)?1,(t,s?t)?1，∴s?t是12的约数，即s?t＝1，2，3，4，6，12
?s?1?s?2?s?3?s?5?s?11?s?7??????（s，t）＝1，得?t?1,?t?1,?t?1,?t?1,?t?1,?t?5 不妨设s?t，则
?m?6?m?8?m?9?m?10?m?11?m?35??????
?s?7?经检验，只有?t?5符合题意，
?m?35?所以：a?14,b?10,c?11或a?10,b?14,c?11，即所求△ABC的周长为35。 14．从1，2，?，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．
解：当n＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．????? 5分 当n＝5时，设a1，a2，?，a5是1，2，?，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则a1，a2，2和8；3和7；4和6．于?，a5中不可能同时出现1和9；是a1，a2，?，a5中必定有一个数是5．
若a1，a2，，故含6；于是不含3（3?，a5中含1，则不含9．于是不含4（4＋1＋5＝10）＋6＋1＝10），故含7；于是不含2（2＋1＋7＝10），故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．
若a1，a2，，故含4；于是不含7（7?，a5中含9，则不含1．于是不含6（6＋9＋5＝20）＋4＋9＝20），故含3；于是不含8（8＋9＋3＝10），故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．
综上所述，n的最小值为5．?????? 15分
★★ 14、已知有6个互不相同的正整数a1，a2,?,a6，且a1?a2???a6，从这6个数中任意取出3个数，分别设为ai，aj, ak，其中i?j?k。记f(i,j,k)?123?? aiajak证明：一定存在3个不同的数组(i,j,k)，其中1?i?j?k?6，使得对应着的3个f(i,j,k)两两之差的绝对值都小于0.5.（征求答案）
2013年全国数学竞赛试题详细参考答案
