中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
题 号 得 分 评卷人 复查人 一 1～5 二 6～10 11 三 12 13 14 总 分 答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答. 2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分） 4241．已知实数x，y满足 4?2?3，y4?y2?3，则4?y4的值为（ ）．
xxx（A）7 （B） 【答】（A） 解：因为x2?0，y2≥0，由已知条件得 1?137?13 （C） （D）5 2212?4?4?4?31?13?1?1?4?3?1?132， ， ??y??2x8422所以 42242?y??3?3?y??y2?6?7． 422xxx2?22(?)?(?)?3?022?2另解：由已知得：?x2，显然?2?y2，以?2,y2为根的一元二次方xxx?(y2)?y2?3?0?程为t2?t?3?0，所以 (?2222)?y??1, (?)?y??3 22xx422(?2)?y2?(?1)2?2?(?3)?7 故4?y4＝[(?2)?y2]2?2? xxx2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y?x2?mx?n的图象与x轴有两个不同交点的概率是（ ）．
54171 （A） （B） （C） （D）
129236
【答】（C）
解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知
?＝m2?4n＞0，即m2＞4n.
通过枚举知，满足条件的m，n有17对. 故P?17. 363．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点
可以确定的不同直线最少有( )．
（A）6条 （B） 8条 （C）10条 （D）12条
【答】（B）
解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条． 当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条． 4．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB?a?1．以AB为一边在圆O内作正△
ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB?AB?a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）．
（第3题）
（A）
53 （D）a a （B）1 （C）22【答】（B） 解：如图，连接OE，OA，OB． 设?D??，则 ?ECA?120?????EAC．
11又因为?ABO??ABD??60??180??2???120???，
22所以△ACE≌△ABO，于是AE?OA?1． 另解：如图，作直径EF，连结AF，以点B为圆心，AB为半径 作⊙B，因为AB＝BC＝BD，则点A，C，D都在⊙B 上，
OECD（第4题）
F11由?F??EDA??CBA??60??30?
22所以AE?EF?sim?F?2?sim30??1
AB5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．
（A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种 【答】（D）
解：设a1，a2，a3，a4，a5是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．
首先，对于a1，a2，a3，a4，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．
又如果ai（1≤i≤3）是偶数，ai?1是奇数，则ai?2是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．
所以a1，a2，a3，a4，a5只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u?v?uv?v．若关于x的方程x?(a?x)??有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 ．
【答】a?0，或a??1． 11解：由x?(a?x)??，得(a?1)x2?(a?1)x??0， 4414?a?1?0，依题意有 ? 2???(a?1)?(a?1)?0，解得，a?0，或a??1． 7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．
【答】4． 解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米．
每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 6x?6y?s． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3x?3y?s． ② 由①，②可得 s?4x，所以
s
?4． x
即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．
（第8题）
8．如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点， AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则FC的长为 ． 【答】9．
解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB． 又MF//AD，所以 ?FMN??BAD??DAC??MFN，
1AB． 211因此 FC?FN?NC?AB?AC?9．
22所以 FN?MN?（第8题答案） E另解：如图，过点C作AD的平行线交BA的延长线为E，延长MF交 AE于点N.
则?E??BAD??DAC??ACE 所以AE?AC?11. 又FN//CE，所以四边形CENF是等腰梯形， 即CF?EN?ANF11BE??(7?11)?9 22BDMC
9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为 ． 【答】
16． 3解：如图，设△ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r， BC边上的高为ha，则 11aha?S△ABC?(a?b?c)r， 22ra 所以 ． ?haa?b?c（第9题答案）
因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此ha?rDE， ?haBC所以 DE?故 DE?a(b?c)ha?rra??a?(1?a)?(?1a)， a?b?chahaa?b?c8?（7?）916?．
8?7?93另解： ?S?ABC?rp?p(p?a)(p?b)(p?c)＝12?4?3?5?125
a?b?c（这里p?）
21252S2?125?5， ha?△ABC?所以r??35
a812DEha?r35?52???， BCha335由△ADE∽△ABC，得 即DE??216BC? 3310．关于x，y的方程x2?y2?208(x?y)的所有正整数解为 ．
?x?48，?x?160，【答】? ??y?32，?y?32.解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．
设x?2a,y?2b，则
a2?b2?104(a?b)， 同上可知，a，b都是偶数．设a?2c,b?2d，则
c2?d2?52(c?d)，
所以，c，d都是偶数．设c?2s,d?2t，则
s2?t2?26(s?t)，
于是 (s?13)2?(t?13)2＝2?132， 其中s，t都是偶数．所以
(s?13)2?2?132?(t?13)2≤2?132?152?112．
所以s?13可能为1，3，5，7，9，进而(t?13)2为337，329，313，289，257，故只能
?s?6，?s?20，是(t?13)2＝289，从而s?13＝7．于是? ??t?4；?t?4，，?x?16，0?x?48因此 ? ?，?y?32.?y?32
另解：因为(x?104)2?(y?104)2?2?1042?21632 则有(y?104)2?21632, 又y正整数，所以 1?y?43
2013年全国数学竞赛试题详细参考答案
