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第五章 定积分
第四讲 定积分的换元法和分部积分法
教学目的 １．掌握定积分的换元公式和分部积分公式；
２．了解有关奇偶函数在关于原点对称的区间上的积分的性质； ３．了解三角函数积分的下列结果：
?n?1n?3?nn?2nn22sinxdx?cosxdx??0?0?n?1n?3??nn?2??2，n为大于1的奇数，3 1?，n为正偶数.22教学重点 利用换元积分法和分部积分法计算定积分． 教学难点 利用递推法计算含有自然数参数n的定积分，如
?n0?02sinxdx?2cosnxdx. ?In??教学时数 2学时． 教学过程
上节我们学习了Newton-Leibniz公式：
?baf(x)dx??F(x)?a．这个公式说明，一个连续函数在?a，b?b上的定积分等于它的任一个原函数在?a，b?上的增量．从而我们只需找到f?x?的一个原函数F?x?，再求它在?a，b?上的增量即可．我们已经知道，可以利用换元积分法和分部积分法来求一些函数的原函数．因此，在一定条件下，可以采取这两种方法来计算定积分．按照Newton-Leibniz公式，定积分的计算方法已经解决，但为了简化计算，特别是推导定积分公式，我们要介绍定积分的换元法和定积分的分部积分法．
一、定积分的换元法
我们给出下面的定理：
定理 假设函数f?x?在区间?a，b?上连续，函数x???t?满足条件： (1)?????a，?????b；
(2)??t? 在??，??(或??，??)上具有连续导数，且值域R???a，b?，则有
公式(1)称为定积分的换元公式．
?baf?x?dx??f???t?????t?dt. (1)
??1
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分析 要想证明两个积分相等，只需证明它们的一个原函数在积分区间上的增量相等．
证 由假设可知，(1)式两边的被积函数均连续，因此两个定积分都存在，并且由上节的定理2知道两个被积函数的原函数也都存在．设F?x?是f?x?的一个原函数，则
?f?x?dx?F?b??F?a?.
ab又设
??t??F???t??，则
???t??dFdx?f?x????t??f???t?????t?.
dxdt这说明??t?是f???t?????t?的原函数，于是
??f???t?????t?dt??????????.
再由?????F???????F?b?，?????F???????F?a?知??????????F?b??F?a?，所以(1)式成立．证毕．
注 (1) 当??t?的值域R???A，B???a，b?，但满足其它条件时，只要f?x?在?A，B?上连续，则(1)式仍然成立；
(2) 应用公式(1)时，将x换成 ??t?，则dx成了x???t?的微分 dx????t?dt； (3) 将x换成??t?时，积分限也要换成相应于新变量t的积分限； (4) 换元公式也可以反过来用，即
??其中 ??a???，??b???．
例1 计算?0abaf???x?????x?dx??x??t??f?t?dt，
?a2?x2dx (a?0).
分析 从定理可以看出，将被积函数的自变量x换成哪一个函数??t?，可以参考不定积分中的技巧． 解 设x?asint，则
a2?x2?acost，dx?acostdt，且当t?0时x?0，当t??2时x?a，
而在?0，?上，acost?acost，于是
2
?????
?a?0a?xdx?a222?20a2costdt?22??1?cos2t?dt
20?a?222?1?2?a?t?2sin2t??4 ??0?2
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注 应用换元公式时，求出f???t?????t?的一个原函数??t?后，直接将t的上、下限分别代入??t?中相减就行了，而不必像计算不定积分那样再把??t?换成x的函数．
?例2 计算
?20cos5xsinxdx．
分析 在求解对应不定积分时，是采用“凑”微分的方法来进行的：
55cosxsinxdx??cos??xd?cosx?．
故本题可考虑设t?cosx．
解 设t?cosx，则sinxdx??dt，且当x?0时t?1，当x??01?2时t?0，于是
11?16?52cos5xsinxdx??t5dt?． tdt?t??0?1?0??66??0注 在例2中，我们可以不必明显地写出新变量t．但此时要注意，定积分的上、下限也不要变更．这种记法的计算过程如下：
????例3 计算
20cosxsinxdx???520?cosx?21?1?cosxd?cosx??????0???? ?66??6??056相应不定积分采用“凑”微分方法时，该定积分通常用上述方法解较为简单．
??0sin3x?sin5xdx.
35分析 首先应将被积函数化简：sinx?sinx?sin3x cosx．由于在x??0，??时，cosx的符
????????,??．这样在每个小区间上cosx??2??2?号有变化，故需将积分区间?0，??分成两个区间：?0,????0,就保号了．
解
??0sinx?sinxdx??sinxcosxdx??2sinxcosxdx??sinx??cosx?dx
35002?32?32??3252???22? ??02sinxd?sinx????sinxd?sinx???sinx???sin25?2?05???323252?x? ??2??2?2?4?????. 5?5?53???35注 如果忽略cosx在? , ??上为负，而按sinx?sinx?sin2xcosx计算，将导致错误．
?2?例4 计算
?4x?22x?10dx.
3
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解 设
t2?12x?1?t，则x?, dx?tdt，且当x?0时t?1，当x?4时t?3．于是
2?40t2?13?22333????x?2t3t3522?. dx??2tdt????dt??t?9??????11t332x?1?22??62?1例5 证明：(1)若f?x?在??a,a?上连续且为偶函数，则 (2)若f?x?在??a,a?上连续且为奇函数，则 解 仅证(1)，(2)的证明留给同学练习． 因为
a?f?x?dx?2?f?x?dx；
?a0aa?f?x?dx?0．
?a0?a?af?x?dx??f?x?dx??f?x?dx，对积分?f?x?dx作代换x??t，则得
?a0?a0a?f?x?dx???f??t?dt??f??t?dt
?aa000a又f?x?在??a,a?上为偶函数，故f??t??f?t?(t???a,a?)，于是
??af?x?dx???af?x?dx??0f?x?dx??0f??t?dt??0f?x?dxaa??0f?t?dt??0f?x?dx aa??0f?x?dx??0f?x?dxa?2?0f?x?dx.a0aaa注 (1)这里用到了“定积分与积分变量的记法无关”这一结论;
(2)利用例5的结论，常可简化计算奇函数、偶函数在以原点为对称的区间上的定积分． 例6 若f?x?在?0 , 1?上连续，证明: (1) (2)
?f?sinx?dx??f?cosx?dx；
2020????0xf?sinx?dx??2?0?f?sinx?dx，并由此计算??0xsinxdx． 21?cosx分析 在定积分中经常遇到正、余弦间的互化问题，同名函数间往往采用代换x???t(或x?2??t等等)，异名函数间往往采用代换x?证 (1) 设x??2?t(或x??2?t等等)来解决这类问题．
?2?t，则dx??dt，于是
?f?sinx?dx????f?cost?dt??f?cost?dt??f?cosx?dx.
2022020?0?? (2)设x???t，则dx??dt，于是
?0xf?sinx?dx???????t?f?sint?dt??0???t?f?sint?dt?? ???0f?sint?dt??0tf?sint?dt?? ???0f?sinx?dx??0xf?sinx?dx.?0?所以
??0xf?sinx?dx??2?0?f?sinx?dx．
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利用上述结论，得
??0xsinx??sinx??d?cosx?dx?dx??2?01?cos2x2?01?cos2x1?cos2x 2???????????arctan?cosx??0???????22?44?4这里需注意到f?x??x在?0 , 1?上连续．
2?x22?xe?x, x?0, 4?例7 设函数 f?x??? 计算?f?x?2?dx 11, ?1?x?0,??1?cosx分析 令x?2?t，则积分区间??1, 2?进行分段．
解 设x?2?t，则dx?dt，于是
?41f?x?2?dx??f?t?dt．由于f?t?是分段函数，故需根据t?0及t?0将
?12120202?t2fx?2dx?ftdt?f(t)dt?ftdt?dt??????????1??1?0??1?0tedt1?cost2dt102 ???1??0 e?td??t2?t22cos220t?1??t2?2111???tan??e?tan?e?4?.2??12??0222?41二、定积分的分部积分法
回顾：不定积分的分部积分公式为
?u?x?v??x?dx?u?x?v?x???u??x?v?x?dx
由Newton-Leibniz公式，我们有
?babu?x?v??x?dx?u?x?v?x???u??x?v?x?dx??u?x?v?x??a??u??x?v?x?dxa??b??ba??u?x?v?x????u??x?v?x?dxbaab
简记作
bb????uvdx?uv?vudx 或 udv?uv?vdu (2) ????aaa?a?aabbbb称为定积分的分部积分公式．公式表明原函数已经“积”出的部分可以先代上、下限．
例8 计算解
?120arcsinxdx．
120120?120arcsinxdx??xarcsinx???1?dx???1?x2261?x2x??12 0 ??12?3?1． 2例9 计算
?10exdx．
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定积分的换元法和分部积分法
