电力系统稳态分析——潮流计算的快速分解法
潮流计算的快速分解法
摘要：本文采用快速分解法进行潮流计算，分析其基本理论，并使用MATLAB软件进行编程设计。最后运用实例进行验证。结果表明快速分解法具有较好的迭代速度。
关键词：潮流计算 快速分解法 MATLAB编程，实例验证
1引言
潮流计算是电力系统分析最基本、最重要的计算，是电力系统运行、规划以及安全性、可靠性分析和优化的基础，也是各种电磁暂态和机电暂态分析的基础和出发点。潮流计算要求具有可靠的收敛性，占用内存少，计算速度快，调整和修改容易，使用灵活方便。各种算法的改进以及新算法的提出，很多都是为了使潮流计算能更好地满足计算要求。本文应用快速分解法进行潮流计算，并给出算例分析。
2潮流计算的快速分解法
研究表明，用牛顿-拉夫逊法计算潮流时，每次迭代都要重新形成雅可比矩阵，然后重新对它进行因子表分解并求解修正方程。为避免每次迭代重新形成雅可比矩阵及其因子表，人们研究用定雅可比矩阵取代随迭代过程不断变化的雅可比矩阵，这种方法叫定雅可比法。此外，人们还结合电力系统的物理特点，发展了各种版本的解耦潮流算法，20世纪70年代初提出的快速分解法是这一阶段的主要研究成果。
关于快速分解潮流算法，有三项里程碑意义的研究成果。其一是Stott在1974年发现的XB型算法；其二是Van Amerongen在1989年发现的BX型算法；其三是Monticelli等人在1990年所作的关于快速分解潮流算法收敛机理的理论阐述。这些研究工作不仅是电力系统计算方面的典范，也揭示了这样一个事实：工程上有效的方法一定有其深刻的理论来支持。 2.1 快速分解法的修正方程及迭代格式
将极坐标型定雅可比法的修正公式重写如下：
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?B??H?GM?GN??V?????PV? （2.1） ??????BL???V???QV?经验表明，电力系统中有功功率主要受电压相角的影响，而无功功率主要受电压幅值的影响，同时由于高压电网大部分线路的电阻比电抗小，因此在牛顿-拉夫逊迭代中可以忽略雅可比矩阵的非对角块，即将GN，GM设为零，从而实现有功和无功潮流修正方程的解耦。Stott通过大量的计算实践发现，为了获得最好的收敛性，还要对雅可比矩阵的对角块作特殊的常数化处理：对系数矩阵
BH，忽略支路电阻和接地支路的影响，即用?1x为支路电纳建立的节点电纳矩
阵B'代替BH；对系数矩阵BL，用节点导纳矩阵中不包含PV节点的虚部B''代替；
V??前的电压幅值用标幺值1代替。于是可得简化的修正方程式如下：
?B'????PV （2.2） ?B''?V??QV （2.3）
在潮流计算中，上述两个修正方程式依次交替迭代，Stott把在此基础发展起来的潮流算法称为快速分解法（fast decoupled load flow）。假定当前点为
(?(k),V(k))，则求解(?(k?1),V(k?1))的连续迭代格式如下：
??V(k)??B''?1?Q(?(k),V(k))V(k) （2.4） ?(k?1)(k)(k)V?V??V????(k)??B'?1?P(?(k),V(k?1))V(k?1) （2.5） ?(k?1)(k)(k)???????快速分解法公式的特点是：①P??和Q?V迭代分别交替进行；②功率偏差计算时使用最近修正过得电压值，且有功无功偏差都用电压幅值去除；③B''和
B'的构成不同，B'应用?1x建立，并忽略所有接地支路（对非标准变比变压器支路，变比可取为1），而B''就是导纳矩阵的虚部，不包括PV节点。在快速分解法的实施中，这些技术细节缺一不可，否则程序的收敛性将受到影响。
1989年，荷兰学者Van Amerongen通过大量仿真计算发现了另一版本的快速分解潮流算法，他把该算法称为BX型算法，而把Stott的算法称为XB型算法，
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用以区分二者。BX型算法与XB型算法的主要不同在于雅可比矩阵对角块的形成上。BX型算法的处理方式是：在对系数矩阵BH进行简化时，保留了支路电阻的影响，但忽略了接地支路项。BX型算法的迭代格式与XB型算法是相同的。计算经验表明，BX型和XB型两种快速分解潮流算法在大部分情况下性能接近，在某些情况下BX型算法收敛性略好。
快速分解法只对雅可比矩阵作了简化，但节点功率偏差量的计算及收敛条件仍是严格的，因此收敛后的潮流结果仍然是准确的。由于方程的维数减小了，且B'和B''是常数矩阵，只需在迭代计算之前形成一次，然后分解成因子表，并一直在迭代过程中使用，所以计算效率大幅提高。快速分解法是一种定雅可比法，虽然只具有线性收敛速度，但由于其鲁棒性好，适应性强，在电力工业界被广泛采用，特别适合在线计算。 2.2 快速分解法的理论基础
Stott的快速分解法提出时并没有任何理论解释，它是计算实践的产物。多年来，人们普遍认为在满足r??x的系统中，快速分解法才能有较好的收敛性。但在许多实际应用中，当r?x时，快速分解法也能很好收敛。因此，从理论上解释快速分解法的收敛机理，便成为一个有趣的研究课题。20世纪80年代末，Monticelli等人的研究工作对这一问题做了比较完整的解释，在一定程度上阐明了XB型和BX型快速分解潮流算法的收敛机理。
Monticelli等人的分析工作是以定雅可比牛顿-拉夫逊迭代方程为出发点的。具体过程如下：①通过高斯消去法，把牛顿-拉夫逊法的每一次迭代等价地细分为三步计算；②对每一步计算作详细分析，证明了在连续的两次牛顿-拉夫逊迭代中，上一次迭代的第三步和下一次迭代的第一步可以合并，从而导出等效的两步式分解算法；③论证了该两步式分解算法的系数矩阵与快速分解法的系数矩阵是一致的。推导过程并未引用任何解耦的假设。
为以后书写方便，将式（2.1）中的?PV用?P代替，?QV用?Q代替，而V??用??代替，则给出的定雅可比法的修正公式改写如下
?H???MN???????P?（2.6） ??? ???L???V???Q?- 3 -
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式中
H?BH?M?GM整个推导分为三步。
??P??P， N??G?NTT???V??Q??Q， ?L?B?LTT???V1) 将原问题分解成P，Q子问题
首先，对式（2.6）用高斯消去法消去子块N，有
?H?NL?1M??M?记
0???????P?NL?1?Q? ?????? （2.7）
?VL?????Q?~~H?H?NL?1M，?P??P?NL?1?Q
并定义
?VL??L?1?Q，?VM??L?1M??
则式（2.7）的解可以表示为
~?????H?1?P ???V??VL??VM~上式中对?P的计算可以采用较简单的方法。在给定的电压幅值和相角初值
附近，保持电压相角不变，考虑只有电压幅值的变化?VL时，有功功率的偏差量为
?P(?,V??VL)??P(?,V)???P~?1 （2.8） ?V??P(?,V)?NL?Q??PLT?V综合上述结果，如果当前的迭代点为(?(k),V(k))，则第k次迭代对式（2.6）的计算可以分解为以下三步。
①
??VL(k)??L?1?Q(?(k),V(k)) （2.9） ?~(k?1)(k)(k)?V??VL?V②
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~?1(k)(k)~(k?1)?????H?P(?,V)? （2.10） ?(k?1)(k)(k)????????③
(k)??VM??L?1M??(k) （2.11） ?(k?1)~(k?1)(k)V?V??VM?2) 简化无功迭代步骤
按①～③完成第k次迭代后，下面再考察第k?1次迭代的①，有
??VL(k?1)??L?1?Q(?(k?1),V(k?1)) （2.12） ?~(k?2)(k?1)(k?1)?V??VL?V利用式（2.11），上式中的无功功率偏差为
~(k)?Q(?(k?1),V(k?1))??Q(?(k?1),V(k?1)??VM)
??Q~(k) ??Q(?(k?1),V(k?1))??VMT?V~(k)??Q(?(k?1),V(k?1))?L?VM （2.13）
代入式（2.12），经整理得
~(k)?VL(k?1)??VM??L?1?Q(?(k?1),V(k?1)) （2.14）
~式（2.14）说明，如果将第k次迭代的①计算出的V(k?1)和②计算出的?(k?1)，
用于计算第k?1次迭代的无功偏差量，即式（2.14）中的?Q，则所求得的第k?1次迭代的电压修正量将自动包含第k次迭代的③的式（2.11）与第k?1次迭代的①的式（2.12）合并，只需保留式（2.9）和式（2.10）。因此，第k次迭代对式（2.6）的计算可以用以下两步计算完成：
(k)?1(k)(k)???V??L?Q(?,V) （2.15） ?(k?1)(k)(k)?V??V??V~?1(k)(k)(k?1)?)?????H?P(?,V （2.16） ?(k?1)(k)(k)?????????Q实际是?QV，在式（2.6）处已说明，??实际是V??，?P实际是?PV，
式（2.15）和式（2.16）和快速分解法迭代格式相同。显然，这种迭代算法是否
~与快速分解法等效，取决于系数矩阵L和H。与XB型快速分解法的修正方程相
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