2017 - 2024学年第一学期期中考试高等数学试题答案
一、填空题（15分）
1. 设f?x?的定义域是[0，1]，则函数f?lnx?的定义域为[1,e]. f?x0??f?x0?2h?? 6 . h?0h(3x2?1)5(4x3?3x?2)?36 3. lim5424x??(x?3x?1)(x?1)13sinx?x2cosx?3 4．极限limx?022x12tx5．若f(t)?lim[t(1?)], 则f'(t)?(2t?1)e2t
x??x2．若f??x0??3，则lim二、选择题（15分）
?1,x?0?6．欲使函数f(x)??1?e1x 在x?0处连续，则必有a? （A）.
?x?0?a,11（A）1 （B） （C） 0 （D）?
22
7．在区间［－１,１］上满足罗尔中值定理条件的函数是（D） （A） y?x?1 （B）y?x （C）y?
2312 （D）y?x?1 x
8．f(x)在x?x0 处连续是f(x)在x?x0处可导的（A）
（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）无关的条件 9．当x?x0时f(x)是比g(x)高阶的无穷小,则当x?x0时,无穷小f(x)+g(x)是比无穷小g(x)（D ）
（A）高阶的无穷小 （B） 低阶无穷小 （C）同阶但非等价的无穷小 （D）等价无穷小. 10．设y?f(x)，则dy?（C）
2'2 （A）2xxf(2x)f(x)dx， （B）xf(x)dx，
2''22 （C）2xf(x)dx ， （D）f(2x)dx 三、试解下列各题（60分） 11．求极限lim'2'sinx?x.
x?0x2ln?1?x?1?x2sinx?xcosx?12??1 解： 原式?lim?lim?limx?0x?0x?03x2x33x26
48
?1??1? 12．设f?x???1??，求f???.
?2??x?解：两边同时取自然对数：lnf(x)?xln(1?两边同时求导：
x1) xf?(x)11111 ?ln(1?)?x??(?2)?ln(1?)?1f(x)xxxx?11?xx211?1??1?所以 f??x???1??[ln(1?)?]，f????3(ln3?).
3xx?1?2??x?y13．设函数y?y?x?由方程e?xy?e所确定,求曲线y?y?x?在x?0处的切线方程.
y解: ey??y?xy??0
y1???由原方程得:y?0??1;由(1)得:y???,故. y0??yx?eex所以切线方程是 y?1?.
e?dyd2y?x?ln1?t2,14. 设?，求、2.
dxdx??y?arctant,11tdy1d2y?t21?t2 解: dy?dt,dx?dt, 所以 ?, ?t??3. 222dxtdxt1?t1?t1?t2x2?3x?215. 设f(x)? ，确定f(x)的连续区间，如果有间断点，试指出间断点的类型。
x?1解：x?1处函数没有定义，且
(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)x2?3x?2x2?3x?2=lim?=lim??1 lim??1 lim?x?1x?1x?11?xx?1x?1x?1x?1?x2?3x?2因为左、右极限不相等，所以lim不存在，而x?1时函数均连续，故连续区
x?1x?1间是(??,1),(1,??)。x?1是第一类的跳跃间断点。
216. 求f(x)?x?4x?4ln(x?1)的极大值与极小值
22x(x?1)] 解：f?(x)? ， f??(x)?2[1?2(1?x)x?1令 f?(x)?0 得驻点 x?0及x?1 ，而 f??(0)??2?0， f??(1)?1?0 所以f(x)的极大值是f(0)?0，极小值是f(1)??3?4ln2。
17. 讨论曲线y?e?x的凹凸区间与拐点 解：y???2xe?x ， y???2e?x(2x2?1)
222 49
在 ???x??故曲线在(??,?1212xx ，
12?x??? ， y???0 ；在 ?1212?x?12 ，y???0
12) 或 (在(?,??)上是凹的，
12,12拐点坐标是(?)是凸的，,e?12)
18. 写出f?x??xe的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解：因为f?(x)?e(x?1)
f??(x)?ex(2x?1)，f???(x)?ex(2x?3)，f(4)(x)?ex(2x?5) 所以f?(0)?1，f??(0)?1，f???(0)?1
代入公式
f??(0)2f(n)(0)nf(n?1)(?x)n?1f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x?x （0???1）
2!n!(n?1)!x2x3e?x(2?x?5)4??x（0???1）. 得f(x)?1?x?262419. 证明方程 1?x?tanx?0 在 （0，1）内有唯一实根。（5分）
证明：令 f(x)?1?x?tanx
则f?(x)??1?secx?0，故函数在定义域内的单调递减，方程1?x?tanx?0 在 （0，1）内至多有一个实根；
因为 f(0)?1?0，f(1)??tan1?0 且 f?(x)??1?secx?0，所以方程
221?x?tanx?0 在 （0，1）内至少有一个实根； 所以f(x)?0在（0，1）内有唯一实根。
20. 注水入深9m上顶直径9m的正圆锥形容器中，其速率为3m／min。当水深为2m时，其表面上升的速率为多少？（5分） 解:设水深为h米时，水面半径为r米， 圆锥体积为：v??rh，其中于是
2313212rh?即r?h， 992dvdvdh12dh1?1?1 ????h?v???h??h??h3
dtdhdt4dt3?2?123即当水深2m时，水面上升速度为m/min.
?附加题（选作）
已知函数f(x)在[1 , 2 ]上二阶可导，且f(2)?0，设F(x)?(x?1)f(x)，求证：在区间
2(1,2)内至少存在一点?，使得 F??(?)?0.
证：显然 F(x)在[1,2]上满足罗尔中值定理条件， 故 ??1?(1,2) 使F?(?1)?0
2又F?(x)?2(x?1)f(x)?(x?1)f?(x)， 故F?(1)?0，F(x)在[1,?1]上满足罗尔中值定理条件，故???(1,?1)?(1,2)， 使F??(?)?0.
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高等数学第一学期期中试题及答案
