求数列通项公式的十种方法
一、公式法
例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。
an?1an3an?1an3an????{}是，则，故数列n?1nn?1nn2222222an3a23??1?1?(n?1)以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，21222n231n所以数列{an}的通项公式为an?(n?)2。
22解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2n转化为
an?1an3??，说明数列2n?12n2aan3{n}?1?(n?1)是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列2n2n2{an}的通项公式。
二、利用
an??S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2)
例2．若Sn和Tn分别表示数列{an}和{bn}的前n项和，对任意正整数
an??2(n?1)，Tn?3Sn?4n.求数列{bn}的通项公式；
解： ?an??2(n?1)?a1??4d??2Sn??n2?3n
?Tn?3Sn?4n??3n2?5n……2分 当n?1时,T1?b1??3?5??8
当n?2时,bn?Tn?Tn?1??6n?2?bn??6n?2.……4分
练习：1. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an 解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)
当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3 三、累加法
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例3 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n2。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2n?1转化为an?1?an?2n?1，进而求出(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。 例4 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2?3n?1得an?1?an?2?3n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)???(2?32?1)?(2?31?1)?3?2(3n?1?3n?2???32?31)?(n?1)?33(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1所以an?3?n?1.
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2?3n?1转化为an?1?an?2?3n?1，进而求出an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。 四、累乘法
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n
例6 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。
解：因为an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，所以an?0，则
an?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1aa????3?2?a1an?1an?2a2a1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]???[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3 ?2n?1[n(n?1)???3?2]?5(n?1)?(n?2)???2?1?3?3?2n?1n(n?1)2?5?n!n?1所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.
an?1?2(n?1)5n，进而求an评注：本题解题的关键是把递推关系an?1?2(n?1)5n?an转化为
出
anan?1aa????3?2?a1，即得数列{an}的通项公式。 an?1an?2a2a1例7已知数列{an}满足a1?1求{an}的通项，an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，公式。
解：因为an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan 用②式－①式得an?1?an?nan. 则an?1?(n?1)an(n?2)
①
②
故
an?1?n?1(n?2) an所以an?anan?1an!????3?a2?[n(n?1)???4?3]a2?a2. an?1an?2a22 ③
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由an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知
a1?1，则a2?1，代入③得an?1?3?4?5???n?所以，{an}的通项公式为an?n!。 2n!. 2评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?(n?1)an(n?2)转化为
an?1?n?1(n?2)，an进而求出
anan?1a从而可得当n?2时，an的表达式，最后再求出数列{an}的????3?a2，
an?1an?2a2通项公式。
五.构造等差或等比an?1?pan?q或an?1?pan?f(n)
例8（2006年福建卷）已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).
求数列?an?的通项公式； 解：?an?1?2an?1(n?N*),
?an?1?1?2(an?1),
??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列。
?an?1?2n.
即
an?22?1(n?N*).
11an?()n?1，求an。 2211an?()n?1两边乘以2n?1得：2n?1?an?1?(2n?an)?1 22例9．已知数列?an?中，a1?1,an?1?解：在an?1?令bn?2n?an，则bn?1?bn?1,解之得：bn?b1?n?1?n?1 所以an?练习.
bnn?1?n 2n2已知数列{an}满足an?2an?1?2n?（，且a4?81。 1n?2）（1）求a1，a2，a3；
（2）求数列{an}的通项公式。
（1）a1?5，a2?13，a3?33
解：
（2）an?2an?1?2n?1?an?1?2(an?1?1)?2n
?an?12n?an?1?12n?1?1?an?12n?n?1
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∴an?(n?1)2n?1
六、待定系数法
例10已知数列{an}满足an?1?2an?3?5n，a1?6，求数列?an?的通项公式。 解：设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)
④
n将an?1?2an?3?5n代入④式，得2an?3?5n?x?5n?1?2，等式两边消去an?2x?5nnx?5，两边除以5，得3?5x?2x则代入④式得,x??1,2an，得3?5n?x?5n?1?2an?1?5n?1?2(an?5n)
⑤
an?1?5n?1由a1?5?6?5?1?0及⑤式得an?5?0，则?2，则数列{an?5n}是以nan?51na1?51?1为首项，以2为公比的等比数列，则an?5n?2n?1，故an?2n?1?5n。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?5n转化为an?1?5n?1?2(an?5n)，从而可知数列{an?5n}是等比数列，进而求出数列{an?5n}的通项公式，最后再求出数列
{an}的通项公式。
例12 已知数列{an}满足an?1?2an?3n2?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z) ⑧ 将an?1?2an?3n2?4n?5代入⑧式，得
2an?3n2?4n?5?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z)，则 2an?(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2an?2xn2?2yn?2z
等式两边消去2an，得(3?x)n?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn?2yn?2z，
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求数列通项公式的十种方法（例题+详解）
