第三章
函数的应用
§3.1
函数与方程
3．1.1
方程的根与函数的零点
课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理
.2.理解函数零点的概
解二次函数的图象与 x 轴的交点和相应的一元二次方程根的关系 念以及函数零点与方程根的联系 .3.掌握函数零点的存在性定理．
1．函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)的图象与 x 轴的交点和相应的 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0)的根的关系
函数图象
判别式
>0
＝ 0
<0
与 x 轴交点个数
方程的根
____ 个 ____ 个
____ 个 ____ 个
____个 无解
2.函数的零点
对于函数 y＝ f(x) ，我们把 ________________ 叫做函数 y＝ f(x) 的零点． 3．方程、函数、图象之间的关系
方 程 f(x) ＝ 0__________ ? 函 数 y ＝ f(x) 的 图 象 ______________ ?
f(x)__________ ．
4．函数零点的存在性定理
如果函数 y＝ f(x) 在区间 [a， b] 上的图象是 ________的一条曲线，并且有
函 数 y ＝
____________ ，
那么，函数 y＝ f(x) 在区间 (a， b)内 ________，即存在 c∈ (a， b)，使得个 __________，这 c 也就是方程 f(x) ＝ 0 的根．
一、选择题
1．二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 中， a·)
c<0，则函数的零点个数是 (
A．0 个 B．1 个
C．2 个 D．无法确定
2．若函数 y＝ f(x) 在区间 [a ， b] 上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是
( )
A．若 f(a)f(b)>0 ，不存在实数 c∈ (a，b) 使得 f(c) ＝ 0
B．若 f(a)f(b)<0 ，存在且只存在一个实数 c∈(a，b)使得 f(c) ＝0 C．若 f(a)f(b)>0 ，有可能存在实数 c∈ (a， b)使得 f(c) ＝ 0 D．若 f(a)f(b)<0 ，有可能不存在实数 c∈ (a， b)使得 f(c) ＝ 0 3．若函数 f(x) ＝ ax＋ b(a≠ 0)有一个零点为
1 1 A． 0，－ 2
2，那么函数 g(x) ＝ bx2－ ax 的零点是 ()
B． 0， 2
C．0,2
A． (－2，－ 1)
1
D． 2，－ 2
4．函数 f(x) ＝ ex＋ x－ 2 的零点所在的一个区间是 ()
B． (－ 1,0)
C．(0,1)
D． (1,2)
x2＋ 2x － 3， x≤ 0，
零点的个数为 ()
5．函数 f(x) ＝ － 2＋ ln x， x>0 A． 0 C．2
B． 1 D． 3
6．已知函数 y＝ ax3＋ bx2＋ cx＋ d 的图象如图所示，则实数 A． (－∞， 0) B． (0,1) C．(1,2)
D． (2，＋∞ )
题 答
二、填空题
b 的取值范围是 (
)
号 案
1 2 3
4 5
6
7．已知函数 f(x) 是定义域为 R 的奇函数，－ 2 是它的一个零点，且在 (0，＋∞ )上是增 函数，则该函数有 ______个零点，这几个零点的和等于 ______ ． 8．函数 f(x)＝ ln x－ x＋2 的零点个数为 ________．
x
9．根据表格中的数据， 可以判定方程 ∈ N)，则 k 的值为 ________．
e －x－ 2＝ 0 的一个实根所在的区间为
(k，k＋ 1)(k
x ex
－ 1 0.37 1
0 1 2
1 2.72 3
2 7.39 4
3 20.09
5
x＋ 2
三、解答题
10．证明：方程 x4 －4x－ 2＝ 0 在区间 [ －1,2] 内至少有两个实数解．
11．关于 x 的方程 mx2＋ 2(m＋ 3)x＋ 2m＋ 14＝ 0 有两实根，且一个大于 4，一个小于 4， 求 m 的取值范围．
能力提升
12．设函数 f(x)＝
2，
解的个数是 () A ． 1 C．3
x2＋ bx＋ c， x≤ 0，
x>0，
若 f(－ 4)＝f(0)， f( －2) ＝－ 2，则方程 f(x)＝ x 的
B ． 2 D ． 4
13．若方程 x2＋ (k－2)x＋ 2k－ 1＝ 0 的两根中，一根在 间，求 k 的取值范围．
0和1之间，另一根在 1和 2之
1． 方程的根与方程所对应函数的零点的关系
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数 f(x)的零点就是方程 f(x)＝ 0 的根，因此判断一个函数 是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f(x)＝0 是否有实根，有几个实根． (3)函数 F(x) ＝f(x)－ g(x)的零点就是方程 与 y＝ g( x)的图象交点的横坐标．
2．并不是所有的函数都有零点，如函数
f(x)＝ g(x)的实数根，也就是函数
y＝ f(x)的图象
1
y＝ x.
3．对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数 y＝ x2 有零点 x0＝ 0，但显然当它通过零点时函数值没有变号．
人教版数学高中必修一《方程的根与函数的零点》教学设计
