核心素养提升(五)
一、向量运算与三点共线
→→→
(必修4 P89例6)如图1，已知任意两个非零向量a，b，试作OA＝a＋b，OB＝a＋2b，OC＝a＋3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
→→→
分别作向量OA、OB、OC，过点A、C作直线AC(如图2)，观察发现，无论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线．
→→→
事实上，因为AB＝OB－OA＝a＋2b－(a＋b)＝b， →→→
而AC＝OC－OA＝a＋3b－(a＋b)＝2b. →→
于是AC＝2AB，所以A，B，C三点共线．
[思想1] 数形结合与探究思想
问题的解答是通过作图观察得出点B始终在直线AC上(或者点C在直线AB上，或者点A在直线BC上)，然后通过共线定理证明猜想的正确性．
[思想2] 转化与化归思想
问题的解答展示了证明三点共线的一个主要方法，其中用到了转化与化归思想，该思想是我们解决数学问题的最主要思想，在本问题中将证明三点共线问题转化成具有公共始点的两向量共线问题，进一步展示了数形结合和转化与化归思想的和谐完美．
→→→→
两种方法：问题除解答展示了证明三点A、B、C共线?AB＝λAC(或AB＝μBC)的转化方法外，可用下列证明方法：
→→→
另证：因为a，b是两不共线的向量，所以OA＝a＋b与OB＝a＋2b也不共线，设OC＝→→λOA＋μOB，
即a＋3b＝λ(a＋b)＋μ(a＋2b)＝(λ＋μ)a＋(λ＋2μ)b. 所以λ＋μ＝1.λ＋2μ＝3.
由λ＋μ＝1，即可知A、B、C三点共线．
〈一〉原问题拓展 [拓展1]
→→→
从原问题的图示和判断证明可以看出，由于OA＝a＋b，OB＝a＋2b，OC＝a＋3b中，→→→→
向量a的系数都为1，从图示来说，OA，OB，OC的终点A、B、C事实上就是向量OM＝a的端点．M沿着向量b的方向平移而得，从而A、B、C三点共线，因此有命题．
任意两个不共线的非零向量a，b(如图1)．
→→→
试作OA1＝a＋λ1b，OA2＝a＋λ2b，…，OAn＝a＋λnb(λi均不相等，i＝1，2，…，n)，则A1，A2，…，An共线(如图3)．
→→→→→→
【证明】 因为OA1＝a＋λ1b，OA2＝a＋λ2b，…，OAn＝a＋λnb，所以A1A2＝OA2－OA1＝λi－λ1→→→→(a＋λ2b)－(a＋λ1b)＝(λ2－λ1)b，A1Ai＝OAi－OA1＝(a＋λib)－(a＋λ1b)＝(λi－λ1)b＝A1A2(i
λ2－λ1＝1，2，…，n)，所以A1，A2，Ai共线，即A1，A2，…，An共线．
[拓展2]
→→→
任意两个不共线的非零向量a，b(如图1)，OA＝a＋b，OB＝a＋2b，OC＝λa＋μb，若A，B，C共线．求λ的值．
→→→
【解】 因为OA＝a＋b，OB＝a＋2b，OC＝λa＋μb，
→→→→→→
所以AB＝OB－OA＝b，AC＝OC－OA＝(λ－1)a＋(μ－1)b，由于A、B、C三点共线，故
??λ－1＝0，→→
存在t∈R，使得AC＝tAB，即(λ－1)a＋(μ－1)b＝tb.所以?
?μ－1＝t.?
即λ＝1，μ＝t＋1.故所求的λ＝1，μ为一切实数． 这正是拓展1的真实体现． 〈二〉三点共线的向量判定
→→→
若OA＝a，OB＝b是平面内两不共线向量，对于平面内任一向量OC＝c，存在一对实数λ，μ使c＝λa＋μb.
证明A、B、C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
→→→→→→
【证明】 若A，B，C三点共线，则存在实数t，使得AC＝tAB，即OC－OA＝t(OB－OA) →→→所以OC＝(1－t)OA＋tOB
令λ＝1－t，μ＝t，则有c＝λa＋tb， 即λ＋μ＝1.若λ＋μ＝1， 则c＝λa＋(1－λ)b 即c－b＝λ(a－b) →→→→即OC－OB＝λ(OA－OB)
→→
即BC＝λBA.所以A、B、C三点共线．
→→
设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( ) 1→4→→
A．AD＝－AB＋AC
33→1→4→
B．AD＝AB－AC
33→4→1→
C．AD＝AB＋AC
334→1→→
D．AD＝－AB－AC
33
→→
【解析】 由BC＝3CD知，B、C、D三点共线， 从四个选项知系数和为1的仅有A，故选A. 【答案】 A
→→→
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若3OA＝a5OB＋a9OC，且A，B，C三点共
线，则S13＝________．
→→→→a5→a9→
【解析】 由3OA＝a5OB＋a9OC，得OA＝OB＋OC
33因为A，B，C三点共线， a5a9
所以＋＝1，即a5＋a9＝3，
33
13（a1＋a13）13（a5＋a9）3939
所以S13＝＝＝.所以S13＝.
222239
【答案】
2
二、求解平面向量问题的五大策略 平面向量既具备几何意义、也具备类似数的运算，在解题中既可以按照几何的思路处理，也可以通过运算解决问题，解平面向量的题目有一些策略，用好这些策略可以顺利地解决问题．
用好共线向量定理及其推论
→→→
在△ABC中，AB＝2a，AC＝3b，设P为△ABC内部及其边界上任意一点，若AP
＝λa＋μb，则λμ的最大值为________．
→→→→
【解析】 过点P作BC平行线，交AB，AC于点M，N，设NP＝tNM，则有AP＝tAM→→→→→
＋(1－t)AN(0≤t≤1)，设AM＝mAB，则有AN＝mAC(0≤m≤1)，
→→→所以AP＝tmAB＋(1－t)mAC，
??λ＝2tm，→
所以AP＝2tma＋3(1－t)mb，所以?
?μ＝3（1－t）m，?
所以λ≥0，μ≥0，3λ＋2μ＝6m≤6， 由3λ＋2μ≥26λμ得26λμ≤6， 33
所以λμ≤，λμ的最大值为.
223
【答案】
2
→→→→
(1)A，B，C三点共线时，一定存在实数λ，使得AB＝λBC或AB＝λAC等；(2)A，B，C→→→
三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O，存在实数t使得OC＝tOA＋(1－t)OB→→→
或OC＝λOA＋μOB，λ＋μ＝1.
用好平面向量基本定理
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长
→→→
线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，则AF等于( )
11A．a＋b
4211C．a＋b
24
【解析】 如图，E为OD中点，
21B．a＋b
3312D．a＋b
33
→→
则BE＝3ED，因为AB∥CD， →→→→→→则AB＝3DF，OB－OA＝3AF－3AD， 1→1→→→→
－BD＋AC＝3AF－3(OD－OA)， 221→1→1→1→→
3AF＝－BD＋AC＋3×BD＋3×AC，
2222→→→
3AF＝2AC＋BD， →2→1→则AF＝AC＋BD，
33→21
即AF＝a＋b，故选B.
33【答案】 B
平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量e1和e2，平面内的任何一向量a都可以用向量e1，e2表示为a＝λ1e1＋λ2e2，并且这种表示是唯一的，即若λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则必有λ1＝μ1，λ2＝μ2，这样，平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1，λ2的代数运算，而且为利用待定系数法解题提供了理论基础．
用好向量的坐标表示
(1)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰
→→
DC上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为________．
高三一轮复习2021版 第五章 核心素养提升(五)
