Ts21?zs21T 令z?e，得S平面与Z平面的单值映射关系，s?， 或者 z?
TT1?z?11?s2?11? 验证：
⑴ 变换的单值性：当z?ej?T1(式中21?z?121?e?j?1T2j?T????1T??)时，代入s???th(1)?j?，即S的?1?j?TT1?zT1?e1T2虚轴映射到Z平面正好是单位圆。 S平面 Z平面 S1平面 ?T2?T2?T?T(1?)?())?j2222 ⑵ 变换的稳定性：s???j? 代入z表达式，得 z? 和|z|?。当??0时，
?T?T?T?T22(1?)?j(1?)?()2222(1?|z|<1即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此，稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。
第七节 预畸双线性法(prevarp)
第一步：求预修正频率 ?1?*2??t*tan（1） ，?1为预防畸变的频率， ?1为修正后的频率。 T2s*?1 第二步：预畸变 D(s)?D()。
s 第三步：变换 D(z)?D(*)|。
?1s?2z?1,?*?2tan(?1T)Tz?11T2 综合以上3步： D(z)?D(s)|s?1tan(?1T2)z?1 z?1，?1为预防畸变的频率 。 j?1?|D(z)||D(j?)|?|D(e)|的原则进行增益匹配。 变换后，稳态增益将变化，需以|D(s)|或s?0z?11 举例： 若 ts1? 若 ts2?10.3533z?0.3533ts11,,'prewarp',)1?， 则c2d(
z?0.2934s?11s2?0.2s?1， 则c2d(ts21,,'prewarp',)1?0.212z2?0.424z?0.212z2?0.9967z?0.8448
第八节 零极点匹配法(matched)
D(S) ? D(Z) 若 D(s)?Ks(s?z1)(s?z2)...(s?zm)，
(s?p1)(s?p2)...(s?pn)n?mK(z?ez1?t)(z?ez2?t)...(z?ezm?t)(z?1) 则 D(z)?z。
(z?ep1?t)(z?ep2?t)...(z?epn?t) 分子上因子(Z+1)n-m的作用是：把s??处的零点投射到来单位园上，使D(Z)的分母和分子的阶数就相同。（如果不加这个因子，D(Z)脉冲响应会产生n-m个采样时间的延迟，对系统造成不利影响）。
n?m?1Kz(z?ez1?t)(z?ez2?t)...(z?ezm?t)(z?1) 或者 D(z)?。
(z?ep1?t)(z?ep2?t)...(z?epn?t) 后一个公式比前一个公式少一个零点，MATLAB函数c2d的matched方法是按后一个公式进行变换的（但脉冲响应具有一个采样时间的延迟）。 确定D(z)的增益kz的方法：
a 令D(s)与D(z)的稳态增益相等求得，即令|D(s)|s?0?|D(z)|z?1， b 若D(s)分子有s因子，例如D(s)?s，可依高频段增益相等原则确定增益,即|D(s)|s???|D(z)|z??1，也可选s?1j?1择某关键频率ω1处的幅频相等，即|D(j?1)|?|D(e)|。
对零极点匹配法做的描述，可以使用符号数学编写m文件程序，“手工式”地进行验证。下面的程序以连续传递函数
1s3?1.8s2?1.8s?1为例，运行此程序后，可以看到，文中描述的方法与c2d函数的mtched方法是一致的，也说明文本中
没有排版错误，这样应该更有于助理解和使用零极点匹配法。 %程序开始
syms s z kz t %预置采样周期 tt= %预置采样周期 s1=1 %建立ds的分子 s2=vpa(s^3+*s^2+*s+1) %建立ds的分母 s2r=solve(s2) %求ds的极点
z1=(z+1)^2 %建立dz分子的零点表达式,不包含增益
z1=vpa(expand(z1),5) %展开dz分子的零点表达式为多项式表达式,不包含增益 z2=(z-exp(t*s2r(1)))*(z-exp(t*s2r(2)))*(z-exp(t*s2r(3))) %建立dz分母的极点表达式
z2=vpa(subs(z2,'t',tt),5) %将dz分母中周期t用预置的值tt代替，不改变极点表达式形式 z2=vpa(expand(z2),5) %展开dz分母的极点表达式为多项式表达式 kz=limit(s1/s2,s,0)/limit(z1/z2,z,1) %计算dz的静态增益 dz=vpa(eval(kz*z1/z2),4) %获得dz的表达式
%display(strcat('Sample time: ',num2str(tt),' seconds')) %对dz的说明
display(['Sample time: ',num2str(tt),' seconds']) %对dz的说明,用方括号代替strcat,以保留空格 display('Discrete-time transfer function.') %续对dz的说明 ds0=tf(1,[1,,,1]) %比较用c2d展开的结果 dz0=c2d(ds0,tt,'matched') %程序结束
第三章 时域化算法
控制系统中控制算法一般是指控制器的传递函数，但要用计算机实现，还应该将z域的离散传递函数，转换为时域的差分方程。由于差分方程已经清晰地显示出输入输出的时序关系，甚至可以在一定程度上把它等同于计算机程序流程图。 传递函数由z域向t域转换，也有几算法。如果把控制器的传递函数看作一体，叫做直接算法；如果把控制器的传递函数分解为几个传递函数的积，叫做串联算法；如果把控制器的传递函数分解为几个传递函数的和，则叫做并联算法；但串联算法和并联算法的z域分解式的转换，仍然要归结为直接算法。
通过不同形式的从z域到t域的数学转换，可以得到，同一个z传递函数的不同形式的输出差分表达式。对于直接算法，共可获得4种形式的输出差分表达式，而串联算法和并联算法形成的一阶分式和二阶分式的转换，同样归结为直接算法。 信流图对时域的输入输出关系的描述，比差方程形象，因此，对每一种算法都根据数学公式画出了它的信流图。参照信流图所表达的信号之间的关系，将给程序设计带来很大的方便。在信流图之后，给出了c语言的参考语句。
离散传递函数有z格式和z-1格式两种，在将离散传递函数变换为差分方程前，要将z格式的传递函数改写为z-1格式的传递函数。
远离当前时刻的过去时刻叫“后”： ...... ? m(-2) ?m(-1) ?m(0) 第一节 直接算法1 — ?双中间变量向后递推 当前时刻和靠近当前时刻的过去时刻叫“前”： ...... ? m(-2) m(-1) ?m(0) n，u(k)表示输入量和输出量，Mi(Z)，Ni(Z)，mi(k)，ni(k)表示中间变量，ai，bi表示系 公式和信流图中，E(Z)，U(Z)，e(k)?i?biZU(Z)数。 i?0设离散传递函数为 ，则输出的Z变换表达式为， ?E(Z)e(k)n?i 程序中，输入量和输出量仍用，u(k)表示，输入输出的延时形式e(k-i)，u(k-i)和中间变量mi(k)，ni(k)，分别改为1??aiZi?1用数组形式e(i)，u(i)，m(i)，n(i)表示，系数ai，bi也改用数组形式a(i)，b(i)表示。 信流图路径上的z-1表示，流经该路径的信息，在当前时刻（k时刻）到达指向的节点，将被延迟一个周期，在下一?b0E(Z)?b1E(Z?1b2E(Z?2)?...?b 个时刻（ k-1-1?时刻）被引用。z)本身没有数值意义。 nE(Z?n)?a1U(Z?1)?a2U(Z?2)?...?anU(Z?n)。 给出的c语言程序参考语句，仅为说明算法，很不严谨，如：初始化语句未与主体语句隔离，主体语句未作无限循 反变换得输出u的时间表达式： 环，系数没有列出数据表，当写成函数的形式时，可能需要设置静态变量，等等。 u(k)?b0e(k)?b1e(k?1)?b2e(k?2)?...?bne(k?n)?a1u(k?1)?a2u(k?2)?...?anu(k?n)。 根据U(k)表达式，画出直接算法1的信流图：
特点：2n个中间变量，取得输入量e(k)后，要进行2n+1次乘法，n次加法，n次减法才能得出输出量u(k)。 for(i=1;i
第二节 直接算法2 — 双中间变量向前递推
设离散传递函数为
U(Z)M0(Z)U(Z)??E(Z)E(Z)M0(Z)1??aiZ?ii?1i?0n?i?biZn?11??aiZ?ii?1ni?0?biZ?i，
n 中间变量 M0(Z)?E(Z)??(aiM0(Z)Z?i。 Z)，输出量 U(Z)??biM(Z)?ii?1nni?0 第一步 以和积递推的形式展开M0(Z)中的和号∑：
?iM0(Z)?E(Z)??(aiM0(Z)Z)?E(Z)?((...((?anM0(Z)Zi?1n?1
?an?1M0(Z))ZMn?1(Z)?1?...)Z?1?a2M0(Z))ZM2(Z)?1?a1M0(Z))ZM1(Z)?1。
Mn(Z)
?1 上式中，令 Mn(Z)??anM0(Z)，Mn?1(Z)?Mn(Z)Z?an?1M0(Z)，...，M1(Z)?M2(Z)Z?aM(Z)。 10?1?1 则中间变量 M0(Z)?E(Z)?M1(Z)Z，反变换得 m0(k)?e(k)?m1(k?1)。
M1(Z)到Mn(Z)的反变换为：mn(k)??anm0(k)，mn?1(k)?mn(k?1)?an?1m0(k)，...，m1(k)?mn(k?1)?a1m0(k)。 第二步 以和积递推的形式展开输出量U(Z)中的和号∑：
(...((bnM0(Z)Z?bn?1M0(Z))Z?...)Z U(Z)?b0M(Z)?(Nn(Z)Nn?1(Z)?1?1?1?1?b2M0(Z))Z?bM(Z))Z10N2(Z)?1?1，
N1(Z)?1 上式中，令 Nn(Z)?bnM0(Z)， Nn?1(Z)?Nn(Z)Z?bn?1M0(Z)，...，N1(Z)?N2(Z)Z?bM(Z)， 10?1 则输出量 U(Z)?b0M0(Z)?N1(Z)Z，反变换为 u(k)?b0m0(k)?n1(k?1)。
N1(Z)到Nn(Z)反变换为：nn(k)?bnm0(k)，nn?1(k)?nn(k?1)?bn?1m0(k)，...，n1(Z)?n2(k?1)?b1m0(k)。 用m0(k)?e(k)?m1(k?1)和u(k)?b0m0(k)?n1(k?1)画出直接算法2的信流图：
每一个mi(k)和ni(k)，都是在被更新后的下一个时刻被引用，因此，信流图中的节点mi(k-1)和ni(k-1) 分别直接由mi(k)和ni(k)兼任，并用z-1因子表明信息的延迟。这样，直接算法2的信流图简化为下图： for(i=1;i /* 求本次u(k) */ u=b(0)*m(0)+n(1) for(i=1,i for(i=1;i /* 求下一次的m(n) */ 第三节 直接算法3 — 单中间变量向后递推 设离散传递函数为 U(Z)M(Z)U(Z)??E(Z)E(Z)M(Z)1??aiZ?ii?1i?0n?i?biZn?11??aiZ?ii?1ni?0?biZ?i， n 由 M(Z)?E(Z)11??aiZi?1n?i 得中间变量 M(Z)?E(Z)??aiM(Z)Zi?1n?i， 直接写出中间变量的差分方程 m(k)?e(k)??aim(k?i)?e(k)?a1m(k?1)?a2m(k?2)?...?anm(k?n)。 i?1n 由 nnU(Z)Z?i, ??biZ?i 得输出变量 U(Z)??biM(Z)M(Z)i?0i?0n 直接写出输出变量的差分方程 u(k)??bim(k?i)?b0m(k)?b1m(k?1)?...?bnm(k?n)。 i?0 画出直接算法3的信流图： for(i=1;i for(i=1,i for(i=1;i for(i=n;i>0;i--) m(i)=m(i-1); /* 中间变量m(i)延时 */ /* 求本次u(k) */ 第四节 直接算法4 — 单中间变量向前递推(简约快速算法) U(Z)?E(Z)i?0n?i?biZn 设离散传递函数为 1??aiZ?ii?1， 则 U(Z)?b0E(Z)??(biE(Z)?aiU(Z))Z?i i?1n 以和积递推的形式展开和号∑： ((bnE(Z)?anU(Z))Z U(Z)?b0E(Z)?((...?1?bn?1E(Z)?an?1U(Z))Z?1?1?...)Z?1?b1E(Z)?a1U(Z))Z?1。 Mn(Z)?1 令 Mn(Z)?bnE(Z)?anU(Z)，Mn?1(Z)?Mn(Z) Z?bn?1E(Z)?an?1U(Z)，...，M1(Z)?M2(Z)Z?bE(Z)?aU(Z)，11?1 则 U(Z)?b0E(Z)?M1(Z)Z，反变换得 u(k)?b0e(k)?m1(k?1)。 Mn?1(Z)M1(Z) M1(Z)到Mn(Z)的反变换为： m1(k)?b1e(k)?a1u(k)?m2(k?1)，m2(k)?b2e(k)?a2u(k)?m3(k?1)，... ， mn?1(k)?bn?1e(k)?an?1u(k)?mn(k?1)，mn(k)?bne(k)?anu(k)。 用u(k)和mi(k)的表达式，画出直接算法4的信流图： 和直接算法2一样，每一个mi(k)都是在被更新后的下一个时刻被引用，因此，信流图中的节点mi(k-1)可以直接由mi(k)兼任，并用z-1因子表明信息的延迟。这样，直接算法4的信流图简化为下图： 特点：n个中间变量，在求出输出信号u(k)并从输出口输出后，还需要为下一次输出进行2n+2次乘法和2n+1次加法，显然，这一点并不影响输出的实时性。 for(i=1;i for(i=1;i /* 初始化 */ 第五节 串联算法 设离散传递函数为 U(Z)?E(Z)1??(aiZ)i?1i?0n?i?(biZ)n， ?i 将传递函数改写成零极点模型，按照系数相近的原则对分子和分母配对，再使分子分母中的常数项为1，得传递函数的串联算法表达式如下： 在串联算法表达式中，所有的因式只有一阶分式和二阶分式两种形式。 ?1U(Z)1?b1Z 求一阶分式 的时域表达式： ??1E(Z)1?a1Z 因为 U(Z)?E(Z)?bE(Z)Z?aU(Z)Z11?1?1， 所以 u(k)?e(k)?(b1e(k?1)?a1u(k?1))。 从u(k)画出串联算法一阶分式的信流图,图中m1(k?1)?b1e(k?1)?a1u(k?1)： m(1)=0; /* 初始化 */
连续传递函数离散化的方法与原理
