课时分层训练(四十八) 双曲线
A组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( ) A．x－＝1
4C.－x＝1 4
2
y2
B.－y＝1 4D．y－＝1
4
2
x2
2
y2
2
x2
C [由于焦点在y轴上，且渐近线方程为y＝±2x. ∴＝2，则a＝2b.C中a＝2，b＝1满足．]
abx2y2
2．若双曲线2－2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) 【导
ab学号：51062292】
A.7 3
5B. 45D. 3
4C. 3
b4b216
D [由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，∴2＝.
a3a9c2－a216
又b＝c－a，∴2＝，
a9
2
2
2
1625522
即e－1＝，∴e＝，∴e＝.] 993
3．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )
A.－＝1(y>0)
45B.－＝1(x>0) 45C.－＝1(y>0) 45D.－＝1(x>0) 45
x2y2x2y2y2x2y2x2
x2y2
B [由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为2－2＝
ab1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b＝9－4＝5.
所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．]
45
→→2
4．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若MF1·MF2
2<0，则y0的取值范围是( )
A.?－2
x2y2
x2
??33?
，? 33?
B.?－?
?33?，? 66?
?2222?
C.?－，?
3??3
A [由题意知a＝2，b＝1，c＝3， ∴F1(－3，0)，F2(3，0)，
?2323?
D.?－，?
3??3
→→
∴MF1＝(－3－x0，－y0)，MF2＝(3－x0，－y0)． →→2
∵MF1·MF2<0，∴(－3－x0)(3－x0)＋y0<0， 即x0－3＋y0<0.∵点M(x0，y0)在双曲线上， ∴－y0＝1，即x0＝2＋2y0， 2∴2＋2y0－3＋y0<0，∴－
2
2
2
2
x20
222
33
2 5．(2017·诸暨调研)过双曲线x－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的 3两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( ) A.43 3 B．23 D．43 2 y2 C．6 D [由题意知，双曲线x－＝1的渐近线方程为y＝±3x，将x＝c＝2代入得y＝ 3±23，即A，B两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB|＝43.] 二、填空题 6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________． 73 210 [由双曲线的标准方程，知a＝7，b＝3，所以c＝a＋b＝10，所以c＝10，从而焦距2c＝210.] 2 2 2 2 2 y2 x2y2 x22 7．已知双曲线2－y＝1(a>0)的一条渐近线为3x＋y＝0，则a＝__________. a【导学号：51062293】 3xx2 [双曲线2－y＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为3x＋y＝0，即y＝－33aa2 x，因为a>0，所以＝3，所以a＝.] a3 x2y2 8．已知双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中 ab点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________． 2 [如图，由题意知|AB|＝又2|AB|＝3|BC|， 2b2 ∴2×＝3×2c，即2b＝3ac， 2 13 2b2 a，|BC|＝2c. a∴2(c－a)＝3ac，两边同除以a，并整理得2e－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．] 三、解答题 9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x＋(y－5)＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点， 5025它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程． [解] 椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.3分 2222 x2y2 22 x2y2 设双曲线G的方程为2－2＝1(a>0，b>0)， ab∴渐近线方程为bx±ay＝0且a＋b＝25，8分 又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3. ∴ |5a| 2 2 b2＋a2 ＝3，得a＝3，b＝4，12分 ∴双曲线G的方程为－＝1.15分 916 10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上． (1)求双曲线的方程； →→ (2)求证：MF1·MF2＝0； (3)求△F1MF2的面积. 【导学号：51062294】 [解] (1)∵e＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴设双曲线方程为x－y＝λ.2分 ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. x2y2 22
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线课时分层训练
