.
∴cos＜，＞==﹣．
∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角， ∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为
．
20．已知函数f（x）=
+x（a，b∈R）．
（Ⅰ）当a=2，b=3时，求函数f（x）极值；
（Ⅱ）设b=a+1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]，都有m≥|f'（x）|恒成立，求m的最小值．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）对a进行分类讨论：当a=0时，f（x）=﹣x+1，m≥1；再对对称轴进行讨论，当值．
【解答】解：（Ⅰ）a=2，b=3时，f（x）=x3﹣x2+x， f′（x）=2x2﹣3x+1=（2x﹣1）（x﹣1）， 令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜， 令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，
故f（x）在（﹣∞，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增， 故f（x）极大值=f（）=
，f（x）极小值=f（1）=，
＜2时，即a＞；当
≥2时，即a≤，分别去求|f（x）|的最大
..
.
（Ⅱ）当b=a+1，f（x）=ax3﹣（a+1）x2+x， f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1，f′（x）恒过点（0，1）； 当a=0时，f′（x）=﹣x+1， m≥|f′（x）|恒成立， ∴m≥1；
0＜a≤1，开口向上，对称轴f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1=a（x﹣
≥1，
）2+1﹣
，
①当a=1时f′（x）=x2﹣2x+1，|f′（x）|在x∈[0，2]的值域为[0，1]； 要m≥|f′（x）|，则m≥1； ②当0＜a＜1时， 根据对称轴分类： 当x=
＜2，即＜a＜1，
△=（a﹣1）2＞0， f′（1； 当x=
≥2，即0＜a≤；
）=﹣（a+）∈（﹣，0），又f′（2）=2a﹣1＜1，所以|f′（x）|≤
f′（x）在x∈[0，2]的最小值为f′（2）=2a﹣1； ﹣1＜2a﹣1≤﹣，所以|f′（x）|≤1，
综上所述，要对任意x∈[0，2]都有m≥|f′（x）|恒成立，有m≥1， ∴m≥1．
21．已知椭圆
x=2上一点P作椭圆的切线，+y2=1（a＞1），过直线l：切点为A，
．
当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．
..
.
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，△=0求得a2，即可求得椭圆方程； （Ⅱ）设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得丨PO丨及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得S=丨k+二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．
【解答】解：（1）当P点在x轴上时，P（2，0），PA：
，
丨，平方整理关于k的一元
，
△=0?a2=2，椭圆方程为；…﹣5
（2）设切线为y=kx+m，设P（2，y0），A（x1，y1）， 则且则PO直线为则
，
，A到直线PO距离
，…﹣10
?（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0?△=0?m2=2k2+1，…7
，y0=2k+m
..
.
=，…13
∴（S﹣k）2=1+2k2?k2+2Sk﹣S2+1=0，
，此时
．…﹣15
22．已知函数fn（x）=xn（1﹣x）2在（，1）上的最大值为an（n=1，2，3，…）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：对任何正整数n（n≥2），都有an≤
成立；
成立．
（3）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：对任意正整数n，都有Sn＜【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式． 【分析】（1）由已知得（x﹣
=（n+2）xn﹣1（x﹣1）
），由此利用导数性质能求出数列{an}的通项公式．
≤成立．
Sn
＜
＜
，由此能证明任意正整数n，都有
成立．
，只需证明（1+）n≥4，由此能证
（2）当n≥2时，欲证明当n≥2时，都有（
3
）
【解答】解：（1）∵fn（x）=xn（1﹣x）2， ∴
..
.
=xn﹣1（1﹣x）[n（1﹣x）﹣2x] =（n+2）xn﹣1（x﹣1）（x﹣当x∈（，1）时，由∵n≥1，∴∵x∈（，∴f（x）在（∴即
在x=
）时，
，…
；x∈（
）时，
（x）＜0；
），…
，知：x=
，…
）上单调递增，在（处取得最大值，
=
．…
）上单调递减
（2）当n≥2时，欲证只需证明（1+）n≥4，… ∵（1+）n=≥1+2+
≤，
≥1+2+1=4，…
成立． …
∴当n≥2时，都有（3）Sn=a1+a2+…+an ＜＜=
＜
．
∴对任意正整数n，都有
成立．…
..
2017年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（5月份）
