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【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】依题意，分两大类：①四次考试中选三次（有
种方法），每次考两科；
②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，分别分析、计算即可求得答案．
【解答】解：将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，有两种情况： ①四次考试中选三次（有
种方法），每次考两科，第一次有
??（
种方法，第二次
种
必须考剩下的一科与考过的两科中的一科，有方法，根据分布乘法计数原理，共有：
?
种方法，第三次只能是?
）?
=24种方法；
②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，共方案2211，2121，2112，1221，1212，1122． 若为2211，第一次有
种方法，
=6种方法；分别为
第二次有两种情况，1°选考过的两科，有种方法，则第三次只考剩下的第三科?
?1?1=3种方法；
有1种方法；第四次只有1种方法，故共有2°剩下的一科与考过的两科中的一科，有种方法，故共有
?
?
?
?
种方法，则第三次与第四次共有
=12种方法；
综上所述，2211方案共有15种方法； 若方案为2121，共有若方案为2112，共有
（（
??
??
++
??
??
）=15种方法； ）=15种方法；
同理可得，另外3种情况，每种各有15种方法， 所以，四次考试都选，共有15×6=90种方法． 综合①②得：共有24+90=114种方法． 故答案为：114．
16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱AB，AD，
..
.
AA1的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是
．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，求解三角形求得高和底面积，代入柱体体积公式得答案．
【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点，
以△PQR为底面作直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），
∴该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，
则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN， 这个三棱柱的高h=RM=底面正三角形PQR的边长为∴这个直三棱柱的体积是故答案为：
．
=，面积为
．
．
=
．
17．函数y=ax2﹣2x的图象上有且仅有两个点到直线y=x的距离等于a的取值集合是 {a|a＜﹣或a=0或a
} ．
，则实数
..
.
【考点】3W：二次函数的性质．
【分析】对a进行分类讨论，得出y=ax2﹣2x与y=x±2的位置关系，根据交点个数判断a的范围．
【解答】解：（1）若a=0，则y=2x与y=x为相交直线， 显然y=2x上存在两点到y=x的距离等于
，符合题意；
（2）若a＞0，则y=ax2﹣2x与直线y=x相交，
∴y=ax2﹣2x在直线y=x上方的图象必有2点到直线y=x的距离等于又直线y=x与y=x﹣2的距离为
，
，
∴抛物线y=ax2﹣2x与直线y=x﹣2不相交， 联立方程组
，消元得ax2﹣3x+2=0，
．
∴△=9﹣8a＜0，解得a
（3）若a＜0，同理可得a＜﹣． 故答案为：{a|a＜﹣或a=0或a
}．
三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．设函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+2其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．
sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，
..
.
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）若y=f（x）的图象经过点（取值范围．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；
（Ⅱ）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+2=
sin2ωx﹣cos2ωx+λ
）+λ，
=
+kπ，k∈z． sinωx?cosωx﹣cos2ωx+λ ，0），求函数f（x）在区间[0，
]上的
=2sin（2ωx﹣
∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣∴ω=+，又ω∈（，1）， 令k=1时，ω=符合要求， ∴函数f（x）的最小正周期为（Ⅱ）∵f（
）=0，
﹣
）+λ=0，
=
；
∴2sin（2××∴λ=﹣
，
∴f（x）=2sin（x﹣∴f（x）∈[﹣1﹣
）﹣， ]．
，2﹣
19．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
..
.
（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．
（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH， ∵G、H为EC、FB的中点， ∴GQ
，QH
，
又∵EF∥BO，∴GQ∥BO， ∴平面GQH∥平面ABC，
∵GH?面GQH，∴GH∥平面ABC． 解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC， 又∵OO′⊥面ABC，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（，3）， =（﹣2
，﹣
，﹣3），
=（2
，2
，0），
，0，0），C（﹣2
，0，0），B（0，2
，0），O′（0，0，3），F（0，
由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），
设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量， 则
，即
），
，
取x0=1，则=（1，﹣1，﹣
..
2017年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（5月份）
