大连理工大学2005硕士研究生考试试题数学分析试题及解答 一、 计算题 1、 求极限：limn??解：
lima1?2a2?...?nan(n?1)an?1(n?1)ana?lim?lim?(利用Stolz公式) n??n??(n?1)2?n2n??2n?1n22a1?2a2?...?nan,其中liman?a n??n2
e?x(1?)x 2、求极限：limx??1x2解：
1x(1?)1x2?xxlime(1?)?lim()xx??x??xe1111(1?)x?e(1?)x(ln(1?)?)xxxx?1?lim?limx??x??11?2xx
1111(?2?o(2))?xx?1??e?elimx2xx??12?2x1xe(1?)e?12x)x?lim(2x)x?1?lime?x(1?)x?lim(x??x??x??xeee
3、证明区间（0，1）和（0，+?）具有相同的势。 证明：构造一一对应y=arctanx。
4、计算积分??D1dxdy，其中D是x=0,y=1,y=x围成的区域 2y?x 解：
??D1y1112ydxdy?dxdy?ln(x?y)|0dy22???000y?xy?x11??ln(1?y)dy??lnydy00
?[(1?y)ln(1?y)?(1?y)?ylny?y]|10?2ln2
5、计算第二类曲线积分：I??C时针。 解
?x?cos??,??[0,2?)1?y?sin??2?11sin2??cos2?2??ydx?xdy换元42?cos2?22I???????d???d??C003?cos2?11x2?y222?cos?221?x2322(2?x)?(1?x)2??8??1?xx?tan?2???????darctanx??42?dx2万能公式代换22?????1?x(2?x)(1?x)23?1?x2????16x??42?dx?d????x?22??42??6???1?x21????2??ydx?xdy，C:x2?2y2?1方向为逆22x?y：
a?1?6、设a>0,b>0,证明：????b?1?b?1?a????。 ?b?b 证明：
?a?1????b?1??a?1????b?1?bb?1?a??a?b????，构造函数f(x)??1??x??b???a?b???1???b?1?bb?1bxb?1?f(b?1)?a??a?b?????1???f(b)bb????a?ba?b?a?b?f'(x)??1?[ln(1?)?]?0(Taylor展开可以证明)?xxx?(a?b)??所以f(x)递增，从而得证x
二、 设f(x)为[a,b]上的有界可测函数，且
在[a,b]上几乎处处为0。 证明：
反证法，假设A={x|f(x)≠0}，那么mA>0。
??1An?{x|f(x)?},A??An。必然存在某个An,mAn?0nn?1
mA2f(x)dx?2n?0,矛盾?n[a,b][a,b]?f2(x)dx?0,证明：f(x)
三、 设函数f(x)在开区间（0，+?）内连续且有界，是讨论f(x)
在（0，+?）内的一致连续性。 讨论：非一致连续，构造函数：
1x显然，f(x)连续且有界。但是f(x)在x?0时非一致连续f(x)?sin反证法：如果一致连续，对???0,x?0,???0,当|x'?x\??11?sin|??.取??1x'x\211令x'?,x\?。当n足够大的时候|x'?x\???(2n?1)?n?(2n?1)n?11|sin?sin|?1??x'x\|sin
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