2024-2024学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册(课件+讲义+课时作业)1.1

1．1 集合的概念 最新课程标准：(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合． 知识点一 集合的概念 1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合． 3．集合中元素的特征 特征 含义 集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在确定这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标性 准 互异给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，性 在同一个集合中，同一个元素不能重复出现 无序集合中的元素无先后顺序之分 性 4.集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 状元随笔 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物． 知识点二 元素与集合的表示及关系 1．元素与集合的符号表示 ??元素：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.表示? ??集合：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.2．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 示例 a是集合 若A表示由“世界四大a属于集合A a∈A A中的元素 洋”组成的集合，则太平洋∈A，长江?A a不属于集a不是集合 a?A

合A A中的元素 状元随笔 对元素和集合之间关系的两点说明 1．符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A ”与“a?A ”这两种结果． 2．∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． 3．数学中一些常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作N； 全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N＋； 全体整数组成的集合称为整数集，记作Z； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 全体实数组成的集合称为实数集，记作R. 知识点三 集合的表示 1．列举法 把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 状元随笔 1．列举法表示集合时的4个关注点 (1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法表示集合时的3个关注点 (1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等； (2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等； (3)不能出现未被说明的字母． [教材解难] 1．教材P2思考 例(3)到例(6)都能组成集合

例(3)中的元素为“每一个正方形” 例(4)中的元素为“到直线l的距离等于定长d的所有点” 例(5)中的元素为“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根” 例(6)中的元素为“地球上的四大洋” 2．教材P3思考 (1)能，大于等于0且小于等于9的3的倍数． (2)不能，不等式x－7<3的解集是x<10，元素有无数个，列举不完． 3．教材P5思考 用自然语言、列举法和描述法表示集合时各有各的特点，自然语言只需表达出集合中元素的共同特征，不受形式的限制．列举法和描述法是集合语言，有严格的格式要求．其中列举法非常明确地列出组成集合的元素，适用于表示元素个数较少的集合，但是不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如不等式x－1>0的解集；描述法清楚地表述了元素的共同特征，适用于表示无限集或元素个数较多的有限集，但是不容易看出集合的具体元素． [基础自测] 1．下列能构成集合的是( ) A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车 C．上海市所有的中学生 D．香港的高楼 解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合． 答案：C 2．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是( ) A．M＝{π}，N＝{3.141 59} B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)} C．M＝{x|－1

一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．

答案：D

3．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( ) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}

解析：∵x－3<2，x∈N*， ∴x<5，x∈N*，

∴x＝1,2,3,4.故选B. 答案：B

4．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.

解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，

所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4， 则方程x2＋ax＋3＝0， 即x2－4x＋3＝0， 解得x＝1或x＝3，

所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}． 答案：{1,3}

题型一 集合的概念[经典例题]

例1 下列对象能构成集合的是( ) A.高一年级全体较胖的学生 B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1 C．全体很大的自然数

D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点

【解析】 由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin 30°＝cos 60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.

【答案】 D

构成集合的元素具有确定性．

方法归纳 判断一组对象组成集合的依据 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． 跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( ) A．所有的正数 B．等于2的数 C.接近于0的数 D．不等于0的偶数 解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C中的对象不能构成集合．故选C. 答案：C C中元素不确定． 题型二 元素与集合的关系[经典例题] 例2 (1)下列关系中，正确的有( ) 1①2∈R；②2?Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 1【解析】 (1)2是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误． (2)∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0,4}满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1,3}满足要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C. 【答案】 (1)C (2)C a分类处理： ①a＝0，a＝1，a＝2； ②a＝3，a＝4