2021届高考数学一轮复习 专题12 向量法解空间立体几何教案
一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底 叫单位正交基底，用{i,j,k}表示；
（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系
点O叫原点，向量i,j,k都叫坐标向量．通O?xyz，
过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。
（3）作空间直角坐标系O?xyz时，一般使?xOy?135（或45），?yOz?90（斜二测画法）；
（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系 （5）空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a，设i,j,k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)，使a?a1i?a2j?a3k，有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O?xyz中的坐标，记作a?(a1,a2,a3)．在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使
OA?xi?yj?zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O?xyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐
标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．
A(x,y,z)z
k
xiOjy二、空间向量的直角坐标运算律 （1）若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)， 则a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，
a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)，
a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)，
（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （3）
z?b1??a1?a//b?b??a??b2??a2(??R)
?b??a3?3
kA(a1,a2,a3)B(b1,b2,b3)Ojy
xi例题1（2018·上海静安·高三二模）如下图，以长方体ABCD?A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，
3，2)，则BD1的坐标为_________. 建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为(4，
【答案】(?4,?3,2)
【解析】
3，2),D(0,0,0),则B1(4,3,2), 因为DB1的坐标为(4，所以B(4,3,0),D1(0,0,2), 因此BD1?(?4,?3,2), 故答案为:(?4,?3,2).
三、空间向量直角坐标的数量积
1、设a,b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cos?a,b?叫作向量a,b的数量积，记作a?b，即a?b＝
|a||b|cos?a,b? 规定：零向量与任一向量的数量积为0。
2、模长公式
|a|?a?a?x221?x2?x23 3、两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)， 则|AB|?AB2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z21)，
或dA,B?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z21)． 4、夹角：cosa?b?a?b|a|?|b|． 注：①a?b?a?b?0(a,b是两个非零向量）； ①|a|2?a?a?a2。
5、 空间向量数量积的性质：
①a?e?|a|cos?a,e?．①a?b?a?b?0．①|a|2?a?a． 6、运算律
①a?b?b?a； ①(?a)?b??(b?a)； ①a?(b?c)?a?b?a?c
例题2（2019·上海浦东新·华师大二附中高三一模）已知向量a??1，?5，7?，b??215，，，?则a?b?_______.
【答案】13 【解析】
①a??1，?5，7?，b??215，，，?
①a?b??3，?412，? ①a?b?9?16?144?13， 故答案为：13
例题3（2020·上海高三其他）正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P在A1C上运动（包括端点），则BP与AD1所成角的取值范围是（A．[?,???43]
B．[4,2]
C．[?6,?2] D．[??6,3]
【答案】D 【解析】
）
沪教版2021届高考数学一轮复习 向量法解空间立体几何 教案
