2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 11 第10讲 定值、定点、探索性问题新题培优练 文（含解析）新人教A版 第10讲 定值、定点、探索性问题
[基础题组
练]
1．已知双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b〉0)的左、右焦点分别为F1，F2,过F2作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，且∠BF1C＝60°，则该双曲线的离心率为（ )
A.错误! C.错误!
B.错误! D．2
解析：选C。不妨设点B在x轴的上方，则点B的坐标为错误!，由于∠BF1C＝60°，则错误!＝tan 30°＝错误!，得错误!e－2e－错误!＝0，
即（错误!e＋1）(e－错误!)＝0， 得e＝3。故选C.
2．椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点分别为F1,F2，弦AB过点F1.若△ABF2的内切圆周长为π，A,B两点的坐标分别为（x1,y1），(x2，y2），则|y1－y2｜的值为（ ）
A.错误! 20C。
3
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B.错误! D。错误!
解析：选D。由题意知，c＝a－b＝错误!＝3，所以椭圆的焦点为F1(－3，0），F2（3，1
0)．设△ABF2的内切圆半径为r.因为△ABF2的内切圆周长为π，所以r＝.根据椭圆的定义，
2有|AB|＋|AF2｜＋｜BF2｜＝（｜AF1｜＋|AF2|)＋(|BF1｜＋｜BF2|)＝4a＝20，所以S△ABF2＝
错误!（|AB|＋｜AF2|＋｜BF2|）×r＝错误!×4a×r＝5＝错误!×2c×｜y1－y2|＝3｜y1－y2|,所
以｜y1－y2｜＝错误!。故选D.
3．(2019·安徽合肥模拟）已知椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的离心率为错误!，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点,且斜率分别为k1,k2,若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________．
解析:由e＝1－错误!＝错误!,得错误!＝错误!。设M(x，y)，A（m，n），则B(－m，－n），
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k1·k2＝错误!·错误!＝错误!,①
把y＝b错误!，n＝b错误!代入①式并化简，可得k1·k2＝－错误!＝－错误!。 答案：－错误!
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2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 11 第10讲 定值、定点、探索性问题新题培优练 文（含解析）新人教A版 4．（2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝错误!，D为直线y＝－错误!上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A，B。
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E错误!为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程． 解：（1）证明：设D错误!，A（x1，y1），则x错误!＝2y1. 由于y′＝x,所以切线DA的斜率为x1， 故错误!＝x1。整理得2tx1－2y1＋1＝0。 设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0。 故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0。 所以直线AB过定点错误!.
1
(2）由(1）得直线AB的方程为y＝tx＋.
2
由错误!可得x－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t（x1＋x2)＋1＝2t＋1。 设M为线段AB的中点，则M错误!。
由于错误!⊥错误!，而错误!＝(t，t－2），错误!与向量(1，t)平行，所以t＋(t－2）t＝0. 解得t＝0或t＝±1. 当t＝0时，|错误!｜＝2，
所求圆的方程为x＋错误!错误!＝4; 当t＝±1时，｜错误!|＝错误!， 所求圆的方程为x＋错误!错误!＝2。
5．（2019·黑龙江齐齐哈尔八中模拟）已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b>0)的离心率为
错误!，过右焦点且垂直于
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2
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x轴的直线l1与椭圆C交于A，B两点,且｜AB|＝错误!，直线l2：y＝k(x－m）错误!与椭圆C交于M，N两点．
（1)求椭圆C的标准方程；
(2）已知点Q错误!,若错误!·错误!是一个与k无关的常数，求实数m的值． 解:(1）联立方程，得错误!解得y＝±错误!，故错误!＝错误!。 又e＝错误!＝错误!，a＝b＋c，所以a＝错误!，b＝1,c＝1， 故椭圆C的标准方程为错误!＋y＝1.
(2）设M(x1，y1）,N(x2，y2),联立方程，得错误!消元得(1＋2k）x－4mkx＋2km－2＝0，
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所以Δ＝16mk－4(1＋2k）（2km－2)＝8(2k－mk＋1)，
x1＋x2＝错误!,x1x2＝错误!，
错误!·错误!＝错误!错误!＋y1y2＝x1x2－错误!(x1＋x2）＋错误!＋k2
(x1－m）（x2－m)＝（1＋k)x1x2
2
－错误!（x1＋x2）＋错误!＋km＝错误!＋错误!，
又错误!·错误!是一个与k无关的常数，所以3m－5m－2＝－4，即3m－5m＋2＝0, 解得m1＝1,m2＝错误!， 因为m〉错误!，所以m＝1.
当m＝1时，Δ>0，直线l2与椭圆C交于两点,满足题意．
［综合题组练］
1．(2019·湖北省五校联考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：错误!＋y＝1，点
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P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝错误!，n＝错误!，m·n＝0。
(1)求证：k1·k2＝－错误!；
(2）试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由． 解：(1)证明：因为k1,k2存在，所以x1x2≠0， 因为m·n＝0,所以错误!＋y1y2＝0，
y1y2所以k1·k2＝＝－错误!。
x1x2
(2）①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时, 由错误!＝－错误!,得错误!－y错误!＝0， 又由P(x1，y1)在椭圆上，得错误!＋y错误!＝1, 所以｜x1｜＝错误!，|y1|＝错误!， 所以S△POQ＝错误!｜x1|·|y1－y2|＝1.
②当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y＝kx＋b(b≠0）． 由错误!得（4k＋1）x＋8kbx＋4b－4＝0,
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2
Δ＝64k2b2－4(4k2＋1）(4b2－4)＝16（4k2＋1－b2）〉0，
所以x1＋x2＝
－8kb,x1x2＝错误!. 2
4k＋1
因为错误!＋y1y2＝0，
所以错误!＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b－4k＝1,满足Δ>0.
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2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何11第10讲定值、定点、探索性问题新题培优练文(含解
