1M2u'?v0 M?2mm? （10）
其方向向后。 当摆球第二次回到最低处时，由（7）式木块减速至0，设这时摆球的速度为u''，由（1）、（5）、（6）式可得
1u''?u?v0
2 （11）
方向向前，开始重复初速运动。 评分标准：本题20分 第ⅰ小题8分，（1）式1分，（2）、（3）式各3分，（4）式1分 第ⅱ小题7分，（5）、（6）式各3分，（8）式1分 第ⅲ小题5分，（9）式1分，（10）式3分，（11）式1分。
15.参考解答： 先设磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直xy平面向里，且无边界。考察从粒子源发出的速率为v、方向与x轴夹角为?的粒子，在磁场的洛伦兹力作用下粒子做圆周运动，圆轨道经过坐标原点O，且与速度方向相切，若圆轨道的半径为R，有
v2qvB?m
R得
（1）
R?mv qByvO'θOP图1x
圆轨道的圆心O'在过坐标原点O与速度方向垂直的直线上，至原点的距离为R，如图1所示，通过圆心O'作平行于y轴的直线与圆轨道交于P点，粒子运动到P点时其速度方向恰好是沿x轴正方向，故P点就在连线就是所求磁场区域的边界线。P点的坐标为
x??Rsin? y??R?Rcos? 这就是磁场区域边界的参数方程，消去参数?，得
（3） （4）
x2?(y?R)2=R2
由（2）、（5）式得
（5）
mv2m2v2x?(y?)?22
qBqB2（6）
这是半径R圆心O''坐标为(0,?R)的圆，作为题所要的磁场区域的边界线，应是如图2所示的半个圆周，故磁场区域的边界线的方程为
若磁场方向垂直于xy面向外，则磁场的边界线为如图3所示的半圆，磁场区域的边界线的方程为
x2?(y?R)2?R2
或
mv2m2v2x?(y?)?22
qBqB2x?0，y?0 （8）
x?0，y?0 （9）
证明同前
评分标准：本题20分
（1）或（2）式2分，（3）、（4）式各4分，（7）式3分，图（图2）2分（只要半圆的位置正确就给2分），（9）式3分，图（图3）2分（只要半圆的位置正确就给2分）。
16.参考解答：
以t?0时刻船A所在的位置为坐标原点O，作如图1所示平面直角坐标Oxy，x轴指向正东，y轴指向正北。可以把船C的速度分解成沿正东方向的分速度vx和沿正北方向的分速度vy两个分量，根据题意有
vx?vy?2u
（1）
在t时刻，三船的位置如图1所示，B、C二船在y方向位移相等，两船的连线BC与x轴平行，两船间的距离
BC?a?2ut
（2）
1BC的中点M到B的距离为a?ut，中点M的坐标分别为
213xM?a?a?ut?a?ut （3）
22yM?2ut
（4）
3可见M点沿x方向的速度为u，沿y方向位移相等，两船的连线BC与x轴上，其x坐标为a
2 在与M点固连的参考系中考察，并建立以M为原点的直角坐标系Mx'y'，x'轴与x轴平行，y'轴与y轴平行，则相对M，船A的速度只有沿负y'方向的分量，有
uAM?uAMy'??2u
在时刻t，船A在坐标系Mx'y'的坐标为
3x'A??a
2y'A?uAMt
（5）
（6） （7）
可以把A船的速度分解为沿连线MA方向的分量uAM1和垂直于连线MA方向的分量uAM2两个分量，uAM1使连线MA的长度增大，uAM2使连线MA的方向改变，如图2所示，若用R表示t时刻连线MA的长度，则连线MA绕M点转动的角速度
??若MA与x'轴的夹角为?，则有
UAM2 R （8）
uAM2?uAMcos?
（9）
而
cos??|x'A| R
（10） （11）
2r?x'2A?y'A 由（5）到（10）各式得
??12au 2229a?16ut （12）
评分标准：本题20分 求得（5）式共6分，（6）、（7）式各1分，（8）式6分，（9）2分，（10）、（11）式各1分，（12）式2分
第28届全国中学生物理竞赛预赛试卷（Word版含答案）
