2021年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(Word版,含解析)

2021年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷（Word

版，含解析）

2021年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则

一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P(4，1)在函数f(x)＝loga(x－b) (b＞0)的图象上，则ab的最大值是 ． (a＋b)2解：由题意知，loga(4－b)＝1，即a＋b＝4，且a＞0，a≠1，b＞0，从而ab≤＝4， 4当a＝b＝2时，ab的最大值是4． π43π

2．函数f(x)＝3sin(2x－)在x＝ 处的值是 ． 424

π43ππ40π10π4π43π4π3

解：2x－＝－＝＝＝2π＋，所以f()＝3sin＝－．

***-**********．若不等式|ax＋1|≤3的解集为{x |－2≤x≤1}，则实数a的值是 ． 解：设函数f(x)＝|ax＋1|，则f(－2)＝ f(1)＝3，故a＝2．

4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ． 3×*****×642

解：有两类情况：同为白球的概率是＝，同为红球的概率是＝，所求的25×***-*****×***** 72 概率是． 625

x2y2x2y2

5．在平面直角坐标系xOy中，设焦距为2c的椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)与椭圆2＋2＝1有相同

abbc的离心率e，则e的值是 ． 2222

－1＋5c2c－bc2b－c

解：若c＞b，则2＝2，得a＝b，矛盾，因此c＜b，且有2＝2，解得e＝． acab2

6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E－ABCD的体积为V1，长方体ABCD－A1B1C1D1的体V1积为V2，则的值是 ． V2

2021年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第 1 页 共 5 页 A （第6题图） D B A1 E C D1 C1 B1

解：记四棱锥B1－ABCD的体积为V． 2

如图，DE＝DB1， 3 21V12

从而V1＝V．又V＝V2，所以＝． 33V29

A A1 D1 O B1 E D B （第6题图） C1

C 7．若实数集合A＝{31x，65y}与B＝{5xy，403}仅有一个公共元素，则集合A∪B中所有元素之积的值是 ．

解：因为31x×65y＝5xy×403＝2015xy．若xy≠0，则集合A和集合B中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy＝

0，从而A∪B中所有元素之积的值为0． 8．设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(－sinα，cosα)．向量x1，x2，…，x7中有3个为a，其余为b；向量y1，y2，…，y7中有2个为a，其余为b．则?xiyi的可能取值中最小的为 ． i=1 7

解：因为a?a＝b?b＝1，a?b＝0，所以?xiyi的最小值为2． i=1 7

9．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 ． 解：如图，设幻方正中间的数为x，则由题意知 2 1

a＝－2012，从而对角线上三个数的和为x－2011． 2015

因此b＝x－2014，c＝－4026，d＝－2013，e＝x＋2014． 2011 由b＋e＋x＝x－2011，解得x＝－． ***-*****99

这9个数的和为3×(－－2011)＝－， 22 ***-*****35

所以幻方中其余6个数之和为－－2018＝－． 22

（第9题图） e d a c x 2015 1 2 b （第9题图）

10．在平面直角坐标系xOy中，设D是满足x≥0，y≥0，x＋y