第3讲 全称量词与存在量词、简单的逻辑联结词
[基础题组练]
1．(2020·安徽蚌埠第一次教学质量检查)命题p：存在常数列不是等比数列，则命题﹁p为( )
A．任意常数列不是等比数列 B．存在常数列是等比数列 C．任意常数列都是等比数列 D．不存在常数列是等比数列
解析：选C.因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定命题﹁p：任意常数列都是等比数列，故选C.
π??0，2．已知f(x)＝sin x－x，命题p：存在x∈?，f(x)<0，则( ) 2???
?π?A．p是假命题，﹁p：对任意的x∈?0，?，f(x)≥0
2???π?B．p是假命题，﹁p：存在x∈?0，?，f(x)≥0 2???π?C．p是真命题，﹁p：对任意的x∈?0，?，f(x)≥0
2???π?D．p是真命题，﹁p：存在x∈?0，?，f(x)≥0 2??
?π?解析：选C.易知f′(x)＝cos x－1<0，所以f(x)在?0，?上是减函数，因为f(0)＝0，
2???π??π?所以f(x)<0，所以命题p：存在x∈?0，?，f(x)<0是真命题，﹁p：对任意的x∈?0，?，
2?2???
f(x)≥0，故选C.
3．(2020·河北唐山第一次模拟)已知命题p：f(x)＝x－ax的图像关于原点对称；命题q：g(x)＝xcos x的图像关于y轴对称．则下列命题为真命题的是( )
A．﹁p C．p且q
3
3
B．q D．p且(﹁q)
3
3
解析：选D.对于f(x)＝x－ax，有f(－x)＝(－x)－a(－x)＝－(x－ax)＝－f(x)，为奇函数，其图像关于原点对称，所以p为真命题；对于g(x)＝xcos x，有g(－x)＝(－x)cos(－
x)＝－xcos x＝－g(x)，为奇函数，其图像关于原点对称，所以q为假命题，则﹁p为假命
题，p且q为假命题，p且(﹁q)为真命题，故选D.
4．已知命题p：若a＞|b|，则a＞b；命题q：若x＝4，则x＝2.下列说法正确的是( )
2
2
2
A．“p或q”为真命题 C．“﹁p”为真命题
2
2
B．“p且q”为真命题 D．“﹁q”为假命题
2
解析：选A.由a＞|b|≥0，得a＞b，所以命题p为真命题．因为x＝4?x＝±2，所以命题q为假命题．所以“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“﹁p”为假命题，“﹁q”为真命题．综上所述，可知选A.
5．(2020·湖南株洲二模)已知命题p：对任意的x>0，e>x＋1，命题q：存在x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题为真命题的是( )
A．p且q C．p且(﹁q)
xxxB．(﹁p)且q D．(﹁p)且(﹁q)
解析：选C.令f(x)＝e－x－1，则f′(x)＝e－1，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增加的，所以f(x)>f(0)＝0，所以e>x＋1，命题p为真命题；
11－x令g(x)＝ln x－x，x>0，则g′(x)＝－1＝，x∈(0，1)时，g′(x)>0；x∈(1，
xxx＋∞)时，g′(x)<0，所以g(x)max＝g(1)＝－1<0，所以g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以
q假．故选C.
6．下列说法错误的是( )
A．命题“若x－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x－5x＋6≠0” B．若命题p：存在x∈R，x＋x＋1<0，则﹁p：对任意x∈R，x＋x＋1≥0
2
2
2
2
?x＋y?”的充要条件 C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥??
?2?
D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假
解析：选D.由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由
2
?x＋y??4xy≥(x＋y)2?4xy≥x2＋y2＋2xy?(x－y)2≤0?x＝y，知C正确；对于D，xy≥???2?
命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．
7．(2020·惠州第一次调研)设命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则对任意的x∈R，f(－x)≠f(x)．命题q：f(x)＝x|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )
A．p为假命题 C．p或q为真命题
B．﹁q为真命题 D．p且q为假命题
2
解析：选C.函数f(x)不是偶函数，仍然有存在x，使得f(－x)＝f(x)，p为假命题；
??x（x≥0），
f(x)＝x|x|＝?2在R上是增函数，q为假命题．所以p或q为假命题，故选C.
?－x（x＜0）?
2
8．有四个关于三角函数的命题：
P1：存在x∈R，sin x＋cos x＝2；
P2：存在x∈R，sin 2x＝sin x；
??P3：对任意的x∈?－，?，
22
?
?
ππ
1＋cos 2x＝cos x； 2
P4：对任意的x∈(0，π)，sin x＞cos x.
其中真命题是( ) A．P1，P4 C．P3，P4
B．P2，P3 D．P2，P4
?π?解析：选B.因为sin x＋cos x＝2sin ?x＋?，所以sin x＋cos x的最大值为2，
4??
可得不存在x∈R，使sin x＋cos x＝2成立，得命题P1是假命题；
因为存在x＝kπ(k∈Z)，使sin 2x＝sin x成立，故命题P2是真命题； 1＋cos 2x2
因为＝cosx，所以
2≥0，由此可得
1＋cos 2x?ππ?＝|cos x|，结合x∈?－，?得cos x2?22?
1＋cos 2x＝cos x，得命题P3是真命题； 2
π2
因为当x＝时，sin x＝cos x＝，不满足sin x＞cos x，
42所以存在x∈(0，π)，使sin x＞cos x不成立，故命题P4是假命题． 故选B.
42
9．已知命题p：方程x－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋的最小值
x为4.给出下列命题：①p且q；②p或q；③p且(﹁q)；④(﹁p)或(﹁q)，则其中真命题的个数为( )
A．1 C．3
2
2
B．2 D．4
解析：选C.由于Δ＝4a＋4＞0，所以方程x－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是4
真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋的值为负值，故命题q为假命题．所以p或q，p且(﹁q)，
x(﹁p)或(﹁q)是真命题，故选C.
10．有下列四个命题：
(1)命题p：对任意的x∈R，x＞0为真命题； (2)设p：
＞0，q：x＋x－2＞0，则p是q的充分不必要条件； x＋2
2
x2
(3)命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题是假命题；
(4)非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°. 其中真命题有( )
2021版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用第3讲全称量词与存在量词、简单的逻辑联结词练习理北师大版
