新数学《计数原理与概率统计》高考知识点
一、选择题
1．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为?1；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为?2，则（ ） A．E?1?E?2，D?1?D?2 C．E?1?E?2，D?1?D?2 【答案】B 【解析】 【分析】
分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】
B．E?1?E?2，D?1?D?2 D．E?1?E?2，D?1?D?2
?1可能的取值为0,1,2；?2可能的取值为0,1，
P??1?0??故E?1?41414，P??1?2??，P??1?1??1???， 99999241244422，D?1?0??2??1???. 3999992?112?1?22?，P??2?1???， 3?233?23P??2?0??故E?2?2122422，D?2?0??1???, 33399故E?1?E?2，D?1?D?2.故选B. 【点睛】
离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.
2．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)?3，则D(X)?( ) A．
8 5B．
6 5C．
4 5D．
2 5【答案】B 【解析】 【分析】
由题意知，X~B(5,333?3，知X~B(5,)，由此能求出)，由EX?5?m?3m?35D(X)．
【详解】
由题意知，X~B(5,3)， m?3?EX?5?3?3，解得m?2， m?33?X~B(5,)，
5336?D(X)?5??(1?)?．
555故选：B． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．
3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A．
1 12B．
1 15C．
1 18D．
1 14【答案】D 【解析】 【分析】
先得到随机抽取两个不同的数共有28种，再得出选取两个不同的数，其和等于20的共有2中，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】
由题意，在不超过20的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19，共有8个数，
2随机选取两个不同的数，共有C8?28种，
其中随机选取的两个不同的数，其和为20的有3?17?20,7?13?20，共有2种， 所以概率为P?故选：D. 【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用组合数的公式求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
21?. 2814
59294．已知(x?1)?(x?2)?a0?a1(x?1)?a2(x?1)?...?a9(x?1)，则a7?（ ）
A．9 【答案】B
B．36 C．84 D．243
【解析】 【分析】
(x?1)5?(x?2)9等价变形为[(x?1)?2]5?[(x?1)?(?1)]9，然后利用二项式
定理将其拆开，求出含有(x?1)的项，便可得到a7．
7【详解】
解：(x?1)?[(x?1)?2]展开式中不含(x?1)；
772(x?2)9?[(x?1)?(?1)]9展开式中含(x?1)的系数为C9(?1)?36
557所以，a7?36，故选B 【点睛】
本题考查二项式定理，解题的关键是要将原来因式的形式转化为目标因式的形式，然后再进行解题．
5．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（ ） A．
1 4B．
1 3C．
1 2D．
2 3【答案】D 【解析】 【分析】
先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】
23三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有(C3)?27种不
同
221结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有C3?C3?C2?18种，故由古典概型的概率计
算公式可得所求概率为故选：D 【点睛】
182?. 273不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.
6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）
A．2，5 【答案】C 【解析】
B．5，5 C．5，8 D．8，8
试题分析：由题意得x?5，16.8?考点：茎叶图
1(9?15?10?y?18?24)?y?8，选C. 5
7．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形ABC的BC，AB和AC．若BC?10，AB?8，AC?6，
VABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（ ）
9?
25??24【答案】D 【解析】 【分析】
A．【详解】
B．
16
25??24C．
25?
24?25?D．
48
48?25?根据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到结论.
由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为S1?Ⅱ所对应的面积S2?24?8??1?8?6?24， 29?25???24， 229?25??24?， 22整个图形所对应的面积S?24?8??所以，此点取自Ⅱ的概率为P?故选：D. 【点睛】
48.
48?25?本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题.
8．已知?1?2x?展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则A．
8b的值（ ） a126 5B．
128 5C．
125 3D．26
【答案】B 【解析】 【分析】
根据二项式系数的性质求得a，系数的最大值为b求得b，从而求得【详解】
4rrr由题意可得a?C8?70，又展开式的通项公式为Tr?1?C82x，
b的值． a?C8r·52r…C8r?1?2r?1?r…设第r?1项的系数最大，则?rr，即?， r?1r?1r?6C·2…C?2?8?8求得r=5或6，此时，b?7?28，?故选：B． 【点睛】
本题主要考查二项式系数的性质，第n项的二项式系数与第n项的系数之间的关系，属于中档题．
b128?， a5
9．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A．100种 【答案】C 【解析】 【分析】
给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】
甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区，
则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共C4?C3；
22第2社区2个、第3社区安排2个，共C4?C2；
13B．60种 C．42种 D．25种
第2社区3个，第3社区安排1个，共C4?C1；
132211故所有安排总数为3?(C4?C3?C4?C2?C4?C1)?42.
11故选：C. 【点睛】
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习有解析
