7．设n是小于50的自然数，那么使得4n+5和7n+6有大于1的公约数的所有n的可能值之和为 94 ．
【分析】此题可以通过设公约数这个参数，将参数值求出，进而得出n的值． 【解答】解：设4n+5和7n+6的公约数为k， 则（4n+5）÷k为整数，（7n+6）÷k为整数，
为了作差后消去n，则左边的式子乘上7，右边的式子乘上4，结果还是都为整数， 则[7（4n+5）﹣4（7n+6）]÷k＝11÷k为整数，
因为k≠1，则11÷k为整数时k只能为11，即两代数式大于1个公约数为11， 又因为[2（4n+5）﹣（7n+6）]÷k为整数，[这里（4n+5）乘上2来作差是为了让n的系数变为1方便筛选]
代入k＝11，有（n+4）÷11为整数 因为n＜50
则n＝7，18，29，40． 7+18+29+40＝94．
故所有n的可能值之和为94． 故答案为：94．
8．由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的表面上（包括地面）所有黑点的总数至少是 54 ．
【分析】根据图意知，上面的正方体同下面正方体中间相连的面最大是5个黑点，下面中间的正方体面同上面正方体和左右两个正方体三个面连接的面，最大是6，4，3个黑点，下面左面的正方体和下面右面的正方体，同中间的正方体连接的面，最大是6个黑点，然用四个正方体上的黑点总数，减去连接在一起看不到的黑点数，就是表面的黑点数．
【解答】解：根据以上分析得：
（1+2+3+4+5+6）×4﹣5﹣6﹣4﹣3﹣6×2， ＝21×4﹣5﹣6﹣4﹣3﹣12， ＝84﹣5﹣6﹣4﹣3﹣12，
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＝54（个）． 故答案为：54．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5和6的算式． 【分析】因为12÷4＝3，4+4+4＝12，所以可以写成（4+4+4）÷4＝3； 因为4×（4﹣4）＝0，4﹣0＝4，所以可以写成4﹣（4﹣4）×4＝4； 因为4×5＝20，20÷4＝5，所以可以写成（4×4+4）÷4＝5； 因为2+4＝6，（4+4）÷4＝2，所以可以写成（4+4）÷4+4＝6． 【解答】解：（4+4+4）÷4＝3； 4﹣（4﹣4）×4＝4； （4×4+4）÷4＝5； （4+4）÷4+4＝6；
10．小明与小华同在小六（1）班，该班学生人数介于20和30之间，且每个人的出生日期均不相同．小明说：“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说：“本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”．问这个班有多少名学生？
【分析】设比小明小得学生为x人，比小华小的学生为y人，那么比小明大的学生为2x人，所以全班学生共有N＝3x+1人，又因为比小华大的学生为3y人，所以全班学生共有N＝4y+1人，则N﹣1既是3的倍数，又是4的倍数，因此N﹣1是3×4＝12的倍数，结合该班学生人数介于15到30人之间，所以N﹣只能是24，所以这个班共有学生N＝24+1＝25人．
【解答】解：由分析知，设比小明小得学生为x人，比小华小的学生为y人，
那么比小明大的学生为2x人，所以全班学生共有N＝3x+1人，又因为比小华大的学生为3y人，所以全班学生共有N＝4y+1人，则N﹣1既是3的倍数，又是4的倍数，因此N﹣1是3×4＝12的倍数，
结合该班学生人数介于20到30人之间，所以N﹣1只能是24， 所以这个班共有学生N＝24+1＝25人． 答：这个班有25名学生．
11．小虎周末到公园划船，九点从租船处出发，计划不超过十一点回到租船处．已知，租船处在河的中游，河道笔直，河水流速1.5千米/小时，每划船半小时，小虎就要休息十分钟让船顺水漂流． 船在静水中的速度是3 千米/小时；问：小虎的船最远可以离租船处
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多少千米？
【分析】小虎划船的全部时间是120分钟，他每划行30分钟，休息10分钟，周期为40分钟，所以一共可以分为3个30分钟划行时间段，有3个10分钟休息；划船时，顺水的船速与逆水的船速之比是4.5：1.5＝3：1；因为小虎要把船划离到离租船处尽可能远，他在划船的过程中只能换一次划船的方向，而且是在尽可能远处，分为两种情况讨论，即开始向下游划船或开始向上游划船，然后再进一步解答即可．
【解答】解：根据题意可得：分为两种情况，开始向下游划船或开始向上游划船； ①我们假设开始时向下游划，若划30分钟，则向下游划（3+1.5）×0.5+1.5×＝2.5（千米）；
返回时，向上游划半小时，顺水漂10分钟为一个周期，可以向上游划 （3﹣1.5）×0.5﹣1.5×＝0.5（千米）；
在剩余的40分钟内回不了租船处． 假设开始时向下游划x（x＜30）分钟， 则在前40分钟内，他可以向下游划（3+1.5）×﹣0.25（千米）
要保证能回到租船处，则要求0.1x﹣0.25≤0.5+0.75，即x≤15； 所以最多可以划（3+1.5）×＝1.125（千米）；
②开始时向上游划，由①得向上游划半小时，顺水漂10分钟为一个周期，（T＝40 分钟）； 可以向上游划（3﹣1.5）×0.5﹣1.5×＝0.5（千米）；
假设向上游划2×40+x（x≤30）分钟，则可以向上游划2×0.5+（3﹣1.5）×余下时间可以向下游划 （3+1.5）×要保证能回到租船处，则要求1+所以最多可以离开租船处 1+
+1.5×＝2.5﹣
x；
＝1+
；
﹣（3﹣1.5）×
+1.5×
＝0.1x
≤2.5﹣x，解得x≤15；
＝1.375（千米）；
比较两种情况，最多可以离开租船处1.375 千米． 答：小虎的船最远可以离租船处1.375千米．
12．由四个相同的小正方形拼成如图，能否将连续的24个自然数分别放在图中所示的24个黑点处（每处放一个，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之和都
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相等？若能，请给出一个例子，请说明理由．
【分析】不能．设放的最小自然数为a，则放的最小自然数为a+23．得到这24个自然数的和为A＝12（2a+23）．假设可能，设每个正方形边上所放的数之和为S．因为共有5个正方形，这些和的和为5S．因为每个数在这些和中出现两次，所以5S＝2A．记最小的16个数的和为B，则B＝8（2a+15）．再分两种情况讨论：（1）B≤S；（2）B＞S即可求解．
【解答】解：不能．
设放的最小自然数为a，则放的最大自然数为a+23． 这24个自然数的和为A＝12（2a+23）．
假设可能，设每个正方形边上所放的数之和为S． 因为共有5个正方形，这些和的和为5S． 因为每个数在这些和中出现两次， 所以5S＝2A．
记最小的16个数的和为B，则B＝8（2a+15）． 分两种情况讨论： （1）若B≤S，则 S＝A＝
（2a+23）≥8（2a+15），
9.6a+110.4≥16a+120，
不存在自然数a使得不等式成立． （2）若B＞S也是不可能的，
因为此时不可能选择最大正方形边上的16个数使这16个数的和等于S． 三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）用八个如图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形，若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的图形有多少种？
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【分析】用右图代替题目中的2×1小长方形，因为题目所给的小长方形的上下不对
称，所以同一个小长方形在拼成的上下对称的正方形中，不会既在上半部分也在下半部分，这样，就可以只考虑上半部分的不同情形，据此画图分析解解答．
【解答】解：（1）相邻的空白格在第一行的最左边或最右边，因为要排除旋转相同的，所以只考虑相邻空白格在最右边的情况，有下图所示的两种情况：
，
（2）相邻的空白格在第一行中间，去掉旋转重合的，有下图所示3种情况：
答：在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的图形有5种．
14．（15分）不为零的自然数n既是2010个数字和相同的自然数之和，也是2012个数字和相同的自然数之和，还是2013个数字和相同的自然数之和，那么n最小是多少？ 【分析】根据要求写出满足条件的最小n值即可．
【解答】解：根据题意有n＝2010A＝2012B＝2013C．能把数字和和数联系起来的数是能被3或9整除的数．明白一个结论，求一个数能否被3或9整除，将这个数按数位截成若干个数或拆成若干个数，若若干个数的和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除．例：求12346789101112…2013能否被9整除，只需求1+2+…+2013的和能否被9整除． 显然2010，2013都是3的倍数，则n是3的倍数，2012B是3的倍数．根据非零自然数，B最小为3，则n最小为6036．
检验：x+y＝2010，3x+12y＝6036，x＝2008，y＝2（数字和也可以为2） c+d＝2013，10c+d＝6036，c＝447，d＝1566（数字和等于2和3没有可能）
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2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组a卷）
