第二学期高等数学期末考试试卷（A卷）答案
第二学期高等数学B（Ⅱ）期末考试试卷（A卷）答案
一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．
1．设z?ln?x2?y2?，则?z?x? ________________________．
x?1，y?1 解：
由z?ln?x2?y2?，得?z2x?z2x?x?x2?y2，所以，
?x?
x?1，y?1x2?y2?1x?1，y?1 应填：1．
1x 2．交换累次积分的顺序?dxf?x，y?dy? ______________________．
0?x2 解： 1x?1y
?dx?fx，y?dy??dy?f?x，y?dx．
0x20y1y 应填：?dy?x，y?dx．
0?fy 3．设u?lnx2?y2?z2，则div?gradu??___________________．
解： u?lnx2?y2?z2?1lnx2?y22??z2?，所以，
?u?x?xx?y2?z2，?u?y?yx2?y2?z2，?u?z?z2x2?y2?z2． 所以，gradu????uyz???x,?u?y,?u??z?????x?x2?y2?z2,x2?y2?z2,x2?y2?z2??
??x?y2?z2?x2??y?x2?z2?y2而?x???x2?y2?z2?????x2?y2?z2?2，?y???x2?y2?z2?????x2?y2?z2?2， ??z?x2 ?y2?z2?z???x2?y2?z2?????x2?y2?z2?2 第 页 共 10 页 1
第二学期高等数学期末考试试卷（A卷）答案
div?gradu???????????xyz???????222??x2?y2?z2??z?x2?y2?z2?? ?x??yx?y?z??????2 ?y2?z2?x2?x2?y2?z2??x2?z2?y2?x2?y2?z2?2?x2?y2?z2?x2?y2?z2?2?1．
x2?y2?z2 应填：
1．
x2?y2?z2 4．设幂级数
?axnn?0?n的收敛半径为R1，幂级数
?bxnn?0?n的收敛半径为R2，且0?R1?R2???，则
幂级数
??an?0?n?bn?xn的收敛半径为_____________．
解： 由于幂级数
?axnn?0?n的收敛半径为R1，幂级数
?bxnn?0?n的收敛半径为R2，且0?R1?R2???，所
以幂级数
??an?0?n?bn?xn的收敛半径为min?R1,R2??R1
应填：R1．
5．微分方程xy??ylny的通解为_____________________________． 解：
这是一个可分离变量的微分方程，由xy??ylny，得
dydx?， ylnyx两端积分，得
?dydx??，得lnlny?lnx?lnC?ln?Cx?． ylnyxCx所以，lny?Cx，即y?e （C为任意常数）． 应填：y?e （C为任意常数）．
Cx二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）．以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．
1．函数f?x，y?在点?x0，y0?处连续是函数f?x，y?在该点处存在偏导数的【 】． （A）．充分条件； （B）．必要条件；
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第二学期高等数学期末考试试卷（A卷）答案
（C）．充分必要条件； （D）．既不是必要，也不是充分条件． 解：
由二元函数f?x，y?的可导性与连续性之间的关系，可知：函数f?x，y?在点?x0，y0?处连续是函数f?x，y?在该点处存在偏导数的既非必要，也非充分条件． 应选：（D）．
，1?、??1，1?、??1，?1?为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限 2．设D是xOy平面上以?1的部分，则积分
???xy?cosxsiny?dxdy
D等于【 】． （A）．2 （C）．4 解：
．2??xydxdy； ??cosxsinydxdy； （B）
D1D1．0． ???xy?cosxsiny?dxdy； （D）
D1，1?、??1，1?、?0，0?为顶点的三角形区域， 将平面区域D分成两个小区域D2与D3，D2是以?1D3是以?0，0?、??1，?1?、??1，1?为顶点的三角形区域．则
???xy?cosxsiny?dxdy????xy?cosxsiny?dxdy????xy?cosxsiny?dxdy．
DD2D3 由于区域D2是关于y轴对称的，则
???xy?cosxsiny?dxdy???xydxdy???cosxsinydxdy
D2D2D2前一个积分中的被积函数是关于x的奇函数，而后一个积分中的被积函数是关于x的偶函数，所以
???xy?cosxsiny?dxdy?2??cosxsinydxdy．
D2D1 又由于区域D3是关于x轴对称的，则
???xy?cosxsiny?dxdy???xydxdy???cosxsinydxdy
D3D3D3前一个积分中的被积函数是关于y的奇函数，而后一个积分中的被积函数也是关于y的奇函数，所以
xsiny?dxdy?0． ???xy?cosD3因此， ????xy?cosxsiny?dxdy
D???xy?cosxsiny?dxdy????xy?cosxsiny?dxdy?2??cosxsinydxdy．
D2D3D1第 页 共 10 页 3
第二学期高等数学期末考试试卷（A卷）答案
应选：（A）．
3．下列级数中，属于条件收敛的是【 】．
（A）．
?n?1????1??n?1? ； （B）
．
nn?n?1???1?nnisnn?n ；
（C）． 解： 级数
?n?1??1?n； （D）．
n2?3n?1n?1???1?n ．
?n?1???1?n?n?1?是发散的（因为其通项的极限不为0）
．
n 级数
?n?1???1?nsin?nnn是绝对收敛的（因为
??1?nsin?nn?1n?1，而级数收敛）． ?nnnn?1n 级数
?n?1????1?n是绝对收敛的（因为??1?nn2n2??11． ?2，而级数?2收敛）
nnn?1 级数
?3n?1n?1??1?n是条件收敛的（因为
?3n?1??3n?1发散，而由
n?1n?1??1?n?1Leibniz判别法，交错级数
?3n?1n?1???1?n收敛）
．
应选：（D）．
4．设函数f?x?是以2?为周期的周期函数，它在???，??上的表达式为
?x???x?0 ， f?x????00?x??再设f?x?的Fourier（傅立叶）级数的和函数为s?x?，则s????【 】． （A）．? 解：
由于f???0??limf?x??0，f???0??limf?x????．
x???0x???0? ； （B）．?? ； （C）．0 ； （D）．? ． 2所以，s????f???0??f???0????．
22 应选：（A）．
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第二学期高等数学期末考试试卷（A卷）答案
5．微分方程y???3y??2y?3x?2ex的特解y*的形式为y*?【 】． （A）．?ax?b?ex； （B）．?ax?b?xex；
（C）．?ax?b??cex； （D）．?ax?b??cxex．
解：
微分方程y???3y??2y?3x?2ex对应的齐次微分方程是y???3y??2y?0，因此其特征方程为
r2?3r?2?0．
得其解为r1?1,r2?2．因此微分方程y???3y??2y??2ex有形如
y?2?cxex．
的特解．又微分方程y???3y??2y?3x有形如
y?1?ax?b．
的特解．所以，微分方程y???3y??2y?3x?2ex有形如
y*?y??1?y2??ax?b??cxex
的特解． 应选：（D）． 三．（本题满分7分）
设z?f?x2?y2，xy?，其中函数f具有二阶连续的偏导数，试求?z?2z?x，?x?y．
解：
?z?x?2xf1??yf2? ，
?2z?x?y??4xyf11??2x2?2y2?f12?xyf22?f2 ． 四．（本题满分7分） 计算二重积分???x?y?dxdy ，其中D：x2?y2?2x． D 解：
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第二学期高等数学期末考试试卷及答案2
