素养提升3 高考中数列解答题的提
分策略
1.[2020山西大学附属中学校诊断,12分]已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),-2S2,S3,4S4成等差数列,
且a2+2a3+a4 =.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn =-(n+2)log2|an|,求数列{}的前n项和Tn.
2 =??22.[原创题,12分]已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1 =1,??????+1?λSn+1,其中λ为常数.
1
16
1????
(1)证明:Sn+1 =2Sn+λ.
(2)是否存在实数λ,使得数列{an}为等比数列?若存在,求出λ;若不存在,请说明理由.
3.[12分]已知数列{an}的前n项和为Sn,a1 =1,且满足Sn =an+1.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前n项和Tn.
2?2na-(2n+1) =0,n∈N*. 4.[12分]已知数列{an}的各项均为正数,且????n
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn =(-1)n-1an,求数列{bn}的前n项和Tn.
素养提升3高考中数列解答题的提分
策略
1.(1)设等比数列{an}的公比为q,由 - 2S2,S3,4S4成等差数列,可知q≠1,2S3=4S4 - 2S2,即2·1
??(1 - ??3)1 - ??
=4·1
1
??(1 - ??4)1 - ??
- 2·1
1
??(1 - ??2)1 - ??
,化简得2q2 - q - 1=0,解得q= - ,a2+2a3+a4=,即 - a1+2·a1 - a1=,
2
16
2
4
8
16
111111
解得a1= - ,则an=( - )n,n∈N*. 1
1111122
(2)bn= - (n+2)log==( ? ), 112|an|= - (n+2)log2??=n(n+2),可得1111111111312??????(??+2)12??1??+2则Tn=(1 - + ? +…+ ? + ? )=(1+ ? ? )= ? (+).
23242?? 2- 1??+1????+222??+1??+242??+1??+2
2.(1)∵an+1=Sn+1 - Sn,????=????+1 - λSn+1,
2=(??2∴??????+1 - ????) - λSn+1, ∴Sn+1(Sn+1 - 2Sn - λ)=0. ∵an>0,∴Sn+1>0,
∴Sn+1 - 2Sn - λ=0,∴Sn+1=2Sn+λ. (2)∵Sn+1=2Sn+λ, ∴Sn=2Sn - 1+λ(n≥2),
两式相减,得an+1=2an(n≥2). ∵S2=2S1+λ,即a2+a1=2a1+λ, ∴a2=1+λ,由a2>0,得λ> - 1.
2
若{an}是等比数列,则a1a3=??2,
2
即2(λ+1)=(λ+1),得λ=1. 经检验,λ=1符合题意.
故存在λ=1,使得数列{an}为等比数列. 3.(1)∵Sn=an+1,
∴当n=1时,a2=1,当n≥2时,Sn - 1=an,
∴an=Sn - Sn - 1=an+1 - an(n≥2),∴an+1=2an(n≥2), ∵a1=1,a2=1,不满足上式, ∴数列{an}是从第二项起的等比数列,公比为2, 1,??=1,∴an={?? - 2
2,??≥n2.(2)由(1)知,当=1时,T1=1,
(5分) (12分) (1分)
(3分) (5分) (8分) (10分) (11分) (12分)
(6分)
当n≥2时,Tn=1+2×20+3×21+…+n×2n - 2, 2Tn=1×2+2×21+3×22+…+n×2n - 1, 1 - 2?? - 1∴ - Tn=1+21+22+…+2n - 2 - n×2n - 1= - n×2n - 1,
1 - 2
∴Tn=(n - 1)×2n - 1+1. 当n=1时也满足上式, 综上,Tn=(n - 1)×2n - 1+1. (12分)
2
4.(1)由???? - 2nan - (2n+1)=0得[an - (2n+1)]·(an+1)=0, 所以an=2n+1或an= - 1.
又数列{an}的各项均为正数, 所以an=2n+1,n∈N*. (5分) (2)由(1)知an=2n+1,n∈N*,bn=( - 1)n - 1an=( - 1)n - 1·(2n+1), 所以Tn=3 - 5+7 - 9+…+( - 1)n - 1·(2n+1) ①,
故 - Tn= - 3+5 - 7+9 - …+( - 1)n - 1·(2n - 1)+( - 1)n·(2n+1) ②, 1×[1 - ( - 1)?? - 1]① - ②得,2Tn=3 - 2[1 - 1+1 - 1+…+( - 1)n - 2] - ( - 1)n·(2n+1)=3 - 2× - ( - 1)n·(2n+1)=2+( -
1 - ( - 1)
1)n - 1 - ( - 1)n·(2n+1)=2+( - 1)n - 1(2n+2), 所以Tn=1+( - 1)n - 1(n+1). (12分) (12分)
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2021高考数学理科(全国版)一轮复习考点：第六章素养提升3高考中数列解答题的提分策略
