2011年同济等九校(卓越联盟)自主招生数学试题
(1)向量a，b均为非零向量，(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a，b的夹角为
(A)
?6
(B)
?3
(C)
2?3 (D)
5?6
(2)已知sin2(?+?)=nsin2?，则
(A)
n?1 n?1tan(?????)tan(?????)
22等于 (C)
nn?1
(B)
nn?1 (D)
n?1n?1
(3)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F：FB1=1：3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为
(A)153
(B)155
(C)532 (D)55
(4)i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则
z?2z?2z?1?i
的最大值为
(A)2-1
(B)2-2
(C)2+1 (D)2+2
(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC
的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0，则抛物线方程为
(A)y2=16x (B)y2=8x (C)y2=-16x (D)y2=-8x
(6)在三棱锥ABC—A1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为
(A)3
(B)2|x|x?4
(C)
32 (D)
22
(7)若关于x的方程
(A)(0，1)
=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为( ) (B)(
14，1)
(C)(
14，+∞) (D)(1，+∞)
(8)如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为
(A)5
(B)6 (D)22 (C)7
1
(9)数列{an}共有11项，a1=0，a11=4，且|ak+1-ak|=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )
(A)100
(B)120
(C)140 2?7 (D)160
(10)设?是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转，?表示坐标平面关于y轴
的镜面反射．用??表示变换的复合，先做?，再做?，用?k表示连续k次的变换，则???2??3??4是( )
(A)?4
(B)?5
(C)?2? (D)??2
(11)设数列{an}满足a1=a，a2=b，2an+2=an+1+an．
(Ⅰ)设bn=an+1-an，证明：若a≠b，则{bn}是等比数列； (Ⅱ)若lim(a1+a2+…+an)=4，求a，b的值．
n??1）考察数列定义
2）a1+a2+a3+...+an=an-an-1+2(an-1-an-2)+3(an-2-an-3)+...+(n-1)(a2-a1)+na1 =bn+2bn-1+3bn-3+...+b1+na(错位相减，可得a，b的值) (12)在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC．
(Ⅰ)求k的取值范围；
(Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？
2
(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x-3相切．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形
PMQN面积的最大值与最小值．
3
(14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为Xn．
(Ⅰ)求EX1；
(Ⅱ)设P(Xn=a+k)=pk，求P(Xn+1=a+k)，k=0，1，…，b； (Ⅲ)证明：EXn+1=(1-1a?b)EXn+1．
4
(15)(Ⅰ)设f(x)=xlnx，求f′(x)；
(Ⅱ)设0 1b?a?ba|lnx?C|dx取得最小值； (Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为ma,b，证明：ma,b 5 6
2011年卓越联盟自主招生数学试题及答案 pdf
