以椭圆和圆为背景的解析几何大题

!-

点O到直线AB的距离d?nk2?1，则AB?24?d2； 9n242?24?2??,? 因为4k?9n?2，则n?，所以d??2?21?k99?2?99?n222则S?AOB?号成立.

114242?4??AB?d??2?d2?d???d2??d2?，当且仅当?d2?d2时，即d2?时等

992299?9?所以，面积的最大值为

2 9x2?y2?1的左右两个顶点是A1， A2，曲线C上的动点P,Q关于x轴对称，直线A1P 9．已知双曲线C:4与A2Q交于点M，

（1）求动点M的轨迹D的方程；

uuuruuur（2）点E?0,2?，轨迹D上的点A,B满足EA??EB，求实数?的取值范围.

x2?1??y2?1；【答案】（1）（2）?,3? . 4?3?【解析】【试题分析】（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式分析求解：

?t2?4??t2?4??.Q?t,?? （1）由已知A1??2,0?,A2?2,0? ，设P?t,????22????t2?4则直线A1P:y??x?2? ，

2?t?2??t2?4直线A2Q:y??x?2?，

2?t?2?x2?12两式相乘得y?x?4，化简得?y2?1，

442??x2?y2?1； 即动点M的轨迹D的方程为4!-

（2）过E?0,2?的直线若斜率不存在则??1或3， 3设直线斜率k存在， A?x1,y1?,B?x2,y2?

{y?kx?222?1?4kx?16kx?12?0 ， 22x?4y?4?0????0?1?16kx1?x2???2?1?4k2则{

12x1x2??3?1?4k2x1??x2?4??12??16k???由（2）（4）解得x1,x2代入（3）式得 ， 2?2?21?4k1?4k??1????化简得

2?3?1???4?2? ， 264k???1???3代入上式右端得， 4由（1）??0解得k2?3?1 , ??16?1???24解得

1???3, 3?1???综上实数的取值范围是?,3? .

3x2y2210．已知椭圆E:2?2?1（a?b?0）的离心率为， F1,F2分别是它的左、右焦点，且存在直线l，

ab3使F1,F2关于l的对称点恰好是圆C:x?y?4mx?2my?5m?4?0（m?R,m?0）的一条直线的两个端点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线l与抛物线y?2px（p?0）相交于A,B两点，射线F1A， F1B与椭圆E分别相交于点M,N，试探究：是否存在数集D，当且仅当p?D时，总存在m，使点F1在以线段MN为直径的圆内？若存在，求出数集D；若不存在，请说明理由.

2222!-

x2y2??1;（2）D??5,??? 【答案】（1）95【解析】试题分析：（1）由圆C的方程配方得半径为2，由题设知，椭圆的焦距2c等于圆C的直径，所以

c?2，又e?c2?，可得椭圆方程. a32（2）由题可得直线l是线段OC的垂直平分线，由l方程与y?2px，联立可得：

uuuuruuuur15252x1?x2?p?m， x1x2?m.又点F1在以线段MN为直径的圆内即FM?F1N?0, 12216坐标化代入求解即可.

（2）因为F1,F2产于l的对称点恰好是圆C的一条直径的两个端点，所以直线l是线段OC的垂直平分线（O是坐标原点），故l方程为y??2x?得p?10m?0①.

设A?x1,y1?， B?x2,y2?，则y1?y2??p， y1y2??5m22，与y?2px，联立得： 2y?2py?5pm?0，由其判别式??025pm， 22y1y2??252y1?y2515?m. 从而x1?x2???m?p?m， x1x2?22224p216因为F1的坐标为??2,0?，

uuuruuur所以F1A??x1?2,y1?， F1B??x2?2,y2?，

uuuuruuuruuuuruuur注意到F1M与F1A同向， F1N与F1B同向，所以 uuuuruuuur点F1在以线段MN为直径的圆内?FM?F1N?0，所以 1uuuruuurF1A?F1B?0?x1?2??x2?2??y1y2?0即x1x2?2?x1?x2??4?y1y2?0

代入整理得

252m?10?2?p?m?4?p?4??0② 42当且仅当???100?2?p??100?p?4??0即p?5时，总存在m，使②成立.

!-

又当p?5时，由韦达定理知方程

252m?10?2?p?m?4?p?4??0的两根均为正数，故使②成立的4m?0，从而满足①.

故存在数集D??5,???，当且仅当p?D时，总存在m使点F1在以线段MN为直径的圆内.

点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根

uuuuruuuur与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及点F1在以线段MN为直径的圆内?FM?F1N?0,坐标化求1解即可.

x2y2?11．设F1,F2分别是椭圆D:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，过F2作倾斜角为的直线交椭圆D于

ab3A,B两点， F1到直线AB的距离为23，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为25. （1）求椭圆D的方程；

n最大时，（2）设过点F2的直线l被椭圆D和圆C:?x?2???y?2??4所截得的弦长分别为m,n，当m·求直线l的方程.

22x2?y2?1;(2) x?3y?2?0或x?3y?2?0. 【答案】(1) 5【解析】(1)设F1坐标为??c,0?， F2坐标为?c,0?,(c?0)，则直线AB的方程为y?3?x?c?，即

3x?y?3c?0,?3c?3c3?11?23,c?2；又S?·2a?2b?25,?ab?5,?a2?5,b2?1，

2x2?椭圆D的方程为?y2?1.

5(2)易知直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x?ty?2，则圆心C到直线l的距离为d?2tt?12，

所以n?22?d?224t?12x?ty?2,{x25?y2?1，

得t2?5y2?4ty?1?0，

???m?1?t2y1?y2?25t2?1t2?5??，

!-

485?t2?1852t?1??m·n???25（当且仅当，即t??3时，等号成立），224t?52t?1t?1?t2?1所以直线方程为x?3y?2?0或x?3y?2?0.

点睛：对于圆锥曲线的题型，在做题时首先要题中的几何关系理解清楚，最好可以画出草图帮助自己理解，然后根据几何关系建立等式求解，对于第二问在求解范围及最值问题时首先要明确表达式，然后根据基本不等式或者函数求最值方法来求解范围问题.

12．设点M到坐标原点的距离和它到直线l:x??m(m?0)的距离之比是一个常数（1）求点M的轨迹；

（2）若m?1时得到的曲线是C，将曲线C向左平移一个单位长度后得到曲线E，过点P??2,0?的直线l1与曲线E交于不同的两点A?x1,y1?,B?x2,y2?，过F?1,0?的直线AF,BF分别交曲线E于点D,Q，设

2． 2uuuruuuruuuruuurAF??FD， BF??FQ， ?,??R，求???的取值范围．

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）?6,10?.

试题解析:（Ⅰ）过点M作MH?l， H为垂足， 设点M的坐标为?x,y?，则OM?又OM?x2?y2,MH?x?m，

22MH，所以x2?y2?x?m， 22故点M的轨迹方程为

121x?y2?mx?m2?0. 22x?m??可化为

2m22y2?2?1，显然点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆. m2?x?1?（Ⅱ）m?1时，得到的曲线C的方程是

2?y2?1，