以椭圆和圆为背景的解析几何大题

由天下分享时间：2025/2/22 21:22:23 加入收藏我要投稿点赞

∴所求r的取值范围是0?r?22. （3）∵M?x1,y1?，则M1??x1,?y1?,M2?x1,?y1? ∴直线QM1的方程为y?y1?y2?y1?x?x1?

x2?x1令x?0，则m?x1y2?x2y1xy?x2y1 同理可得n?12

x1?x2x1?x222x12?1?x22??x22?1?x12?x1y2?x2y1x1y2?x2y1?x1y2???x2y1?∴mn? ????1 2222x1?x2x1?x2x1?x2x1?x2∴m?n为定值1.

6. 【前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2024届高三上学期第一次学情监测】如图，已知椭

x2y23??圆E:2?2?1?a?b?0?的左顶点A??2,0?，且点??1,?在椭圆上， F1、F2分别是椭圆的左、右焦

ab2??点。过点A作斜率为k?k?0?的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若?CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标；（3）若F1C?AB，求k的值.

?833?x2y26??1（2）B?,【答案】（1）（3）k? ??55?1243??【解析】试题分析：

x2y2??1； (1)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组可得椭圆E的标准方程： 43(2)由题意可得点C在x轴下方据此分类讨论有： C0,?3，联立直线BC的方程与椭圆方程可得

??!-

?833?； B??5,5??????8k2?612k?,(3)设直线AB的方程lAB:y?k?x?2?，联立直线方程与椭圆方程，可得B? 利用几22?3?4k3?4k??何关系F1C?AB计算可得C8k2?1,?8k ，利用点C在椭圆上得到关于实数k的方程，解方程有：

??k?6 . 12试题解析：

∴直线BC的方程y?3?x?1?，由{x2y?3?x?1?y??1432 得{x?0y??3x? 或{y?85335

?833?∴B?,?55??

??!-

（3）设直线AB的方程lAB:y?k?x?2?，

y?k?x?2?由{x2 得?3?4ky2??1432?x2?16k2x?16k2?12?0

16k2?12?8k2?6∴xA?xB??2xB? ∴xB?

3?4k23?4k2??8k2?612k?12k,∴yB?k?xB?2?? ∴B? 22?3?4k3?4k3?4k2??若k?3?13??3?，则∴B?1,?，∴C?1,??，∵F，∴，∴F1C与AB不垂直； ?1,0k???CF11?2?24??2?14k1，∵F2?1,0?， kBF2?， ,k??CF1221?4kk4k1CF∴直线BF2的方程lBF2:y?，直线的方程: x?1l:y?????x?1? 1CF11?4k2k∴k?4kx?1?2?x?8k2?11?4k由{ 解得{ ∴C8k2?1,?8k

1y??8ky???x?1?ky????又点C在椭圆上得

∵k?0，∴k?8k2?14????8k?322?1，即?24k2?1??8k2?9??0，即k2?1 246 12点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

x2y227．已知椭圆C： 2?2?1(a?b?0)的离心率为，且过点?2,0?.

2ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点M?1,0?任作一条直线与椭圆C相交于P， Q两点，试问在x轴上是否存在定点N，使得直线PN与直线QN关于x轴对称？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由.

y2x2??1;（Ⅱ）N?4,0?. 【答案】（Ⅰ）84【解析】试卷分析：（Ⅰ）根据离心率为

2，短轴右端点为A的坐标即可求出a,b的值，进而求出椭圆C2的方程；（Ⅱ）分类讨论：当直线PQ与x轴不垂直时，当PQ?x轴时，由椭圆的对称性可知恒有直线PN与直线QN关于x轴对称，即在x轴上存在定点N?4,0?，使得直线PN与直线QN关于x轴对称. 试卷解析：

（Ⅰ）由题意得b?2，

y2x2?1. a?8，故椭圆C的方程为?842（Ⅱ）假设存在点N?m,0?满足题设条件.

当直线PQ与x轴不垂直时，设PQ的方程为y?k?x?1?，代入椭圆方程化简得： 2?k2x2?2k2x ?k2?8?0，