以椭圆和圆为背景的解析几何大题

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【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等．

【热点深度剖析】

1. 圆锥曲线的解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2017年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化． 2. 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

3. .避免繁复运算的基本方法：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的方法等，一般以直接性和间接性为基本原则.“设而不求”、“点代法”等方法的运用就是主动的“所谓寻求”.

4. 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．

5.预计18年将继续将解几大题作为探究能力考查的“试验田”，考查定点、定值问题的可能性较大. 【最新考纲解读】

要 求 内 容 A B C 平面解直线的斜率和倾斜角 √ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层备注 !-

析几何初步 直线方程 次（在表中分别用A、B、C表示）. 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解 √ 决相关的简单问题. 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一 定综合性的问题. √ 性较强的或较为困难的问题. √ 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合直线的平行关系与垂直关系 两条直线的交点 √ √ √ √两点间的距离、点到直线的距离 圆的标准方程与一般方程 直线与圆、圆与圆的位置关系 中心在坐标原点的椭圆 的标准方程与几何性质 圆锥曲线与方程 中心在坐标原点的双曲√线的标准方程与几何性质 顶点在坐标原点的抛物√线的标准方程与几何性质 !-

【重点知识整合】 一、1.椭圆的定义：

（1）第一定义：平面内到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹. （2）第二定义：平面内与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0

图形

x2y2 标准方程：2?2?1(a?b>0)

ab3. 几何性质：

（1）范围 ?a?x?a,?b?y?b （2）中心 坐标原点O(0,0)

（3）顶点 (a,0),(?a,0),(0,b),(0,?b)

（4）对称轴 x轴，y轴，长轴长2a，短轴长2b

（5）焦点 F1(?c,0),F2(c,0) 焦距 2c，（c?a2?b2） （6）离心率 e?c，（0?e?1） aa2 （7）准线 x??

c （8）焦半径 r左?a?ex0,r右?a?ex0

2b2 （9）通径

aa2 （10）焦参数

c二、1. 抛物线的定义：

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平面内与定点和直线的距离相等的点的轨迹. （e=1） 2.图形与方程（以一个为例）

图形

标准方程：y?2px(p?0) 3. 几何性质：

（1）范围 x?0经，y?R （2）中心 无 （3）顶点 O(0,0) （4）对称轴 x轴 （5）焦点 F(2p,0) 焦距 无 2p 2p 2 （6）离心率 e?1 （7）准线 x?? （8）焦半径 r?x0? （9）通径 2p （10）焦参数 p 【应试技巧点拨】

一、（1）要能够灵活应用圆锥曲线的两个定义（及其“括号”内的限制条件）解决有关问题，如果涉及

到其两焦点(或两相异定点)，那么优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视第一定义和三角形中正余弦定理等几何性质的应用，尤其注意圆锥曲线第一定义与配方法的综合运用。

（2）椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，

其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在． （3）求椭圆的标准方程

①定义法：根据椭圆定义，确定a,b的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．

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②待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a,b，从而写出椭圆的标准方程．

（4）椭圆中有一个十分重要的△OF1B2(如图)，它的三边长分别为a、b、c.易见c?a?b，且若记

22222?OF1B2??，则cos??c?e. a

（5）在掌握椭圆简单几何性质的基础上，能对椭圆性质有更多的了解，如： ①a?c与a?c分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值；

2b2②椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦)长，过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值．

ax2y2c（6）共离心率的椭圆系的方程：椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率是e?(c?a2?b2)，方程

aabx2a2?y2b2?t(t是大于0的参数，a?b?0的离心率也是e?22c 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a二、对于抛物线的标准方程y??2px(p?0)与x??2py(p?0)，重点把握以下两点：

(1)p是焦点到准线的距离，p恒为正数；

(2)方程形式有四种，要搞清方程与图形的对应性，其规律是“对称轴看一次项，符号决定开口方向”． B．抛物线的几何性质以考查焦点与准线为主．根据定义，抛物线上一点到焦点的距离和到准线的距离相等，可得以下规律：

(1)抛物线y?2px(p?0)上一点M(x0,y0)到焦点F的距离MF?x0?(2)抛物线y??2px(p?0)上一点M(x0,y0)到焦点F的距离MF?222p； 2p?x0； 2p； 2(3)抛物线x?2py(p?0)上一点M(x0,y0)到焦点F的距离MF?y0?(4)抛物线x??2py(p?0)上一点M(x0,y0)到焦点F的距离MF?2p?y0. 2C．直线与抛物线的位置关系类似于前面所讲直线与椭圆、双曲线的位置关系．

特别地，已知抛物线y?2px(p?0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1,y1),B(x2,y2)．

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