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们的计算能力，给定了直线的方向向量，就是给出了直线的斜率，只要设动点P的坐标为(m,0)，就能写出直线l的方程，把它与椭圆方程联立方程组，可求出A,B两点的坐标，从而求出|PA|?|PB|的值，看它与m有没有关系（是不是常数），当然在求|PA|?|PB|时，不一定要把A,B两点的坐标直接求出（如直接求出，对下面的计算没有帮助），而是采取设而不求的思想，即设A(x1,y1),B(x2,y2)，然后求出
2222x1?x2，x1x2，而再把|PA|2?|PB|2用x1?x2，x1x2表示出来然后代入计算，可使计算过程简化．
试题解析：（1） 因为C的焦点在x轴上且长轴为4，
x2y2??1（a?b?0）故可设椭圆C的方程为， 4b2?133???在椭圆C上，所以?2?1， 因为点1,?2?44b??解得b?1， …………（1分）
2x2?y2?1． 所以，椭圆C的方程为4（2）设P(m,0)（?2?m?2），由已知，直线l的方程是y?x?m， 21?y?(x?m),??2由?2? 2x2?2mx?m2?4?0 （*） ?x?y2?1,??4设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是方程（*）的两个根，
m2?4所以有，x2?x2?m,x1x2?，
2所以，|PA|?|PB|?(x1?m)?y1?(x2?m)?y2
222222115?(x1?m)2?(x1?m)2?(x2?m)2?(x2?m)2?[(x1?m)2?(x2?m)2]
444552?[x12?x2?2m(x1?x2)?2m2]?[(x1?x2)2?2m(x1?x2)?2x1x2?2m2] 445?[m2?2m2?(m2?4)?2m2]?5（定值）． 4所以，|PA|?|PB|为定值．
22!-
2.已知圆C过定点A(0,1)，圆心C在抛物线x?2y上，M、N为圆C与x轴的交点． （1）当圆心C是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长． （2）当圆心C在抛物线上运动时，MN是否为一定值？请证明你的结论． （3）当圆心C在抛物线上运动时，记AM?m，AN?n，求程．
【答案】（1）3；（2）是定值，为2；（3）
2mn?的最大值，并求出此时圆C的方nmmn?取得最大值22，此时圆C的方程为nm(x?2)2?(y?1)2?2．
【解析】
也即求出x1?x2?MN?2为定值；（3）根据圆的性质，由（2）可得M,N两点的坐标为(a?1,0),(a?1,0)，
mnmn4a2这样m,n就可用a来表示，可求得??21?4，a?0时，有??2，a?0时，利用基本
nmnma?4mn4a24a2不等式有a?4?4a，从而??21?4即a??2时?21?2?22（当且仅当a4?4，
nma?44a42等号成立），故所求最大值为22． 试题解析：（1）抛物线x?2y的顶点为(0,210)，准线方程为y??，圆的半径等于1，圆C的方程为
213?3………………………4分 x2?y2?1．弦长21?()2?2?22（2）设圆心C(a,112a)，则圆C的半径r?a2?(a2?1)2，
222圆C的方程是为：(x?a)?(y?221221a)?a2?(a2?1)2…………6分 22令y?0，得x?2ax?a?1?0，得x1?a?1，x2?a?1，
!-
?MN?x2?x1?2是定值．………………8分
（3）由（2）知，不妨设M(a?1,0)，N(a?1,0)，m?x12?1?(a?1)2?1?a2?2?2a，
2n?x2?1?(a?1)2?1?a2?2?2a．
mnm2?n22a2?44a2．………………11分 ????21?44nmmna?4a?4当a?0时，
mn??2．………………12分 nmmnm2?n22a2?44a24当a?0时，????21?4?21??22．
44nmmna?4a?4a2?2a当且仅当a??2时，等号成立…………………………14分 所以当a??2时，
mn?取得最大值22，此时圆C的方程为(x?2)2?(y?1)2?2． nm………………………………16分
x2y23.给定椭圆C:2?2?1?a?b?0?，称圆心在坐标原点O，半径为a2?b2的圆是椭圆C的“伴随圆”，
ab已知椭圆C的两个焦点分别是F1?2,0,F2???2,0.
?uuuuuruuuuur（1）若椭圆C上一动点M1满足M1F1?M1F2?4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点P?0,t??t?0?作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为23，求P点的坐标； （3）已知m?n??点到过两点m,m请说明理由.
cos?3,mn???m?n,???0,???，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的sin?sin?2?2?,?n,n?的直线的最短距离dmin?a2?b2?b.若存在，求出a，b的值；若不存在，
x2y2??1，伴随圆方程x2?y2?6；【答案】（1）椭圆方程（2）(0,?6)；（3）存在，42【解析】
试题分析：（1）这是基本题，题设实质已知2a?4,c? ．
2，要求椭圆标准方程，已知圆心及半径求圆的方!-
程；（2）为了求P点坐标，我们可设直线l方程为y?kx?t，直线l与椭圆只有一个公共点，即直线l的方程与椭圆的方程联立方程组，这个方程组只有一个解，消元后利用??0可得k,t的一个方程，又直线l截圆所得弦长为23，又得一个关于k,t的方程，联立可解得k,t；（3）这是解析几何中的存在性问题，解决方法都是假设存在，然后去求出这个a,b，能求出就说明存在，不能求出就说明不存在．解法如下，写出过点m,m2,n,n2的直线方程，求出圆心到这条直线的距离为d?3，可见当圆半径不小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为0，即当a2?b2?3时，dmin?a2?b2?b?0，但由于a2?b2?b?0，无解，当圆半径小于3时，圆上的点到这条直线的最短距离为3?a2?b2，由此得
????3?a2?b2?a2?b2?b，又有a2?b2?2，可解得a?3,b?1，故存在．
试题解析：（1）由题意：，则，所以椭圆的方程为，------2分
其“伴随圆”的方程为．-----------------------4分
（2）设直线的方程为
由得---------------------6分
则有得，---①--------------7分
由直线截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，可得
，得------②------------------------------8分
由①②得，又，故，所以点坐标为．-----10分
（3）过的直线的方程为：，
即，得------------------------12分
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由于圆心到直线的距离为
，---------------------------------------14分
4.某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC、BD是过抛物线?焦点F的两条弦，且其焦点F(0,1)，AC?BD?0，点E为y轴上一点，记?EFA??，其中?为锐角． (1) 求抛物线?方程；
(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求?的大小？
【答案】(1) x?4y；(2) ??【解析】
试题分析：(1)抛物线焦点在y轴上，其标准方程为x?2py，其中焦点坐标为(0,22?4.
p)；(2)显然要把蝴蝶2
以椭圆和圆为背景的解析几何大题
