圆的方程
一、选择题
1.已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( ) A.x2＋y2＝2 C.x2＋y2＝1
B.x2＋y2＝2 D.x2＋y2＝4
解析 AB的中点坐标为(0，0)，
|AB|＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22， ∴圆的方程为x2＋y2＝2. 答案 A
2. 圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( ) A.(x－2)2＋(y－1)2＝1 C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
B.(x＋1)2＋(y－2)2＝1 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝1
解析 已知圆的圆心C(1，2)关于直线y＝x对称的点为C′(2，1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A. 答案 A
3.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是( ) ?2?
A.(－∞，－2)∪?，＋∞?
?3?C.(－2，0)
?2?
B.?－，0? ?3?2??－2，? D.?
3??
2
2
a?23a3a?2
x＋?＋(y＋a)＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得解析 方程为?
2?44?2
－2＜a＜.
3答案 D
4.(2017·淄博调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4
B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析
4＋x?x＝，?2
设圆上任一点为Q(x，y)，PQ的中点为M(x，y)，则?解
－2＋yy＝，?2?
0
0
0
0
?x0＝2x－4，22
得?因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x0＋y0＝4，即(2x－4)2＋(2y?y0＝2y＋2.＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 答案 A
5.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A(1，0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( ) 5A. 3
B.
21 3
C.25
3
4D. 3
解析 由点B(0，3)，C(2，3)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，① 由点A(1，0)，B(0，3)，得线段AB的垂直平分线方程为 1?33?
y－＝?x－?，②
2?23?
?23?
?， 联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为?1，3??其到原点的距离为 答案 B 二、填空题
6.若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________.
3
解析 设圆心C坐标为(2，b)(b<0)，则|b|＋1＝4＋b.解得b＝－，半径r2
2
?23?221
?＝1＋?.故选B.
3?3?
2
3?2255?2
＝|b|＋1＝，故圆C的方程为：(x－2)＋?y＋?＝.
24?2?3?225?
答案 (x－2)＋?y＋?＝
4?2?
2
7.(2017·广州模拟)已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值
时，圆心C的坐标为________.
k?23?
解析 圆C的方程可化为?x＋?＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以，当k＝0时圆C4?2?的面积最大. 答案 (0，－1)
8.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.
解析 过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，∵kCM＝－1＝0.
答案 x＋y－1＝0 三、解答题
9.已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.
解 l2平行于x轴，l1与l3互相垂直.三交点A，B，C连线构成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为?x－2y＝0，
直径的圆.解方程组?
y＋1＝0?
?x＝－2，
得?所以点A的坐标是(－2，－1). ?y＝－1.
?2x＋y－1＝0，?x＝1，
解方程组?得?
?y＋1＝0?y＝－1.
?1?
所以点B的坐标是(1，－1).线段AB的中点坐标是?－，－1?，
?2?又|AB|＝（－2－1）2＋（－1＋1）2＝3. 1?29?
故所求圆的标准方程是?x＋?＋(y＋1)2＝.
2?4?10.在△ABC中，已知|BC|＝2，且是什么图形.
|AB|
＝m，求点A的轨迹方程，并说明轨迹|AC|
1－0
＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y2－1
解 如图，以直线BC为x轴、线段BC的中点为原点，建立直角坐标系.
则有B(－1，0)，C(1，0)，设点A的坐标为(x，y). |AB|由＝m，得（x＋1）2＋y2＝m（x－1）2＋y2.整理|AC|得(m2－1)x2＋(m2－1)y2－2(m2＋1)x＋(m2－1)＝0.① 当m2＝1时，m＝1，方程是x＝0，轨迹是y轴.
m2＋1?224m2?
?＋y＝当m≠1时，对①式配方，得?x－2.
（m2－1）2?m－1?
2
?m＋1?
，0?为圆心， 所以，点A的轨迹是以?2
?m－1?2m为半径的圆(除去圆与BC的交点).
|m2－1|
11.若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周12
长，则＋的最小值为( )
2
abA.1 B.5 C.42 D.3＋22
解析 由题意知圆心C(2，1)在直线ax＋2by－2＝0上， ∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1， 1212b2a∴＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋
ababab≥3＋2
b2a×＝3＋22， abb2a当且仅当＝，即b＝2－2，a＝2－1时，等号成立.
ab∴＋的最小值为3＋22. 1
2
ab答案 D
12.已知圆心(a，b)(a＜0，b＜0)在直线y＝2x＋1上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( ) A.(x＋2)2＋(y＋3)2＝9 B.(x＋3)2＋(y＋5)2＝25
7?249?
C.(x＋6)＋?y＋?＝
3?9?
2
2?2?7?249?
D.?x＋?＋?y＋?＝
3?3?9??
解析 由圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x轴相切，由题意得圆的半径为|b|，则圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝b2.由圆心在直线y＝2x＋1上， 得b＝2a＋1 ①，
由此圆在y轴上截得的弦长为25， 得b2－a2＝5 ②，
2
?a＝，
3?a＝－2，?
由①②得?或?(舍去).所以所求圆的方程为(x＋2)＋(y＋3)
b＝－37?
??b＝3
2
2
＝9.故选A. 答案 A
13.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________.
22222
解析 设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x20＋(y0＋1)＋x0＋(y0－1)＝2(x0＋y0)2222＋2.x20＋y0为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x0＋y0)max＝(5＋1)＝36，
∴dmax＝74. 答案 74
14.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以
M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；
→→→(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA＋TP＝TQ，求实数t
圆的方程
