课时规范练 A组 基础对点练
x2y22
1．已知椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)过点(0，2)，且离心率e＝2.
(1)求椭圆E的方程.
?9?
(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G?－4，0?与以
??线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由． b＝2，
??c2
解析：(1)由已知，得?＝，
a2??a2＝b2＋c2，x2y2
所以椭圆E的方程为4＋2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0)． x＝my－1，??
由?x2y2
＋＝1，??42
?a＝2，
解得?b＝2，
?c＝2.
得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
2m3
所以y1＋y2＝2，y1y2＝－2，
m＋2m＋2m
从而y0＝2. m＋2
9?5?2225??225所以|GH|2＝?x0＋4?2＋y20＝?my0＋?＋y0＝(m＋1)y0＋my0＋. 4?216???
|AB|2?x1－x2?2＋?y1－y2?2
4＝4?1＋m2??y1－y2?2＝
4
?1＋m2?[?y1＋y2?2－4y1y2]＝
4
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＝(1＋m2)(y20－y1y2)，
3?1＋m2?25|AB|25255m22
故|GH|－4＝2my0＋(1＋m)y1y2＋16＝－2＋16＝
2?m2＋2?m＋2
2
17m2＋2|AB|
＞0，所以|GH|＞
2. 16?m2＋2?
?9?
故点G?－4，0?在以AB为直径的圆外．
??
x2y2
2.(2020·承德模拟)如图所示，椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b
2→→
＞0)的离心率是2，点P(0,1)在短轴CD上，且PC·PD ＝－1.
(1)求椭圆E的方程．
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，→·→＋λP→→为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 使得OAOBA·PB解析：(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．又点P的坐标为→·→＝－1， (0,1)，且PCPD
??c2于是?＝，
a2??a2－b2＝c2，
1－b2＝－1，
解得a＝2，b＝2.
x2y2
所以椭圆E的方程为4＋2＝1.
(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)． x2y2??＋＝1，联立?42
??y＝kx＋1，
得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0， 4k2所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－2.
2k＋12k＋1→·→＋λP→→
从而，OAOBA·PB
＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
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＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ?－2λ－4?k2＋?－2λ－1?＝ 2k2＋1＝－
λ－1
－λ－2. 2k2＋1
λ－1
所以，当λ＝1时，－2－λ－2＝－3.
2k＋1→·→＋λP→→＝－3为定值．
此时，OAOBA·PB
→·→＋λP→→当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.当λ＝1时，OAOBA·PB→·→＋PC→·→＝－2－1＝－3. ＝OCODPD
→·→＋λP→→为定值－3. 故存在常数λ＝1，使得OAOBA·PB
x2y23．(2020·贵阳模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆a2＋b2＝1(a＞b
1
＞0)的离心率为2，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程．
48
(2)若|AB|＋|CD|＝7，求直线AB的方程． c1
解析：(1)由题意知e＝a＝2，2a＝4. 又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3， x2y2
所以椭圆方程为4＋3＝1.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．
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②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
则直线CD的方程为y＝－k(x－1)． 将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得 (3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 4k2－128k2
则x1＋x2＝，x·x＝，
3＋4k2123＋4k2所以|AB|＝k2＋1|x1－x2| ＝k2＋1·?x1＋x2?2－4x1x2 12?k2＋1?＝.
3＋4k2
?1?
12?k2＋1?12?k2＋1???
同理，|CD|＝
4＝3k2＋4. 3＋k212?k2＋1?12?k2＋1?
所以|AB|＋|CD|＝＋
3＋4k23k2＋484?k2＋1?248
＝＝，解得k＝±1， ?3＋4k2??3k2＋4?7
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. x2y2
4.如图所示，已知F(3，0)为椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b ＞0)的右焦点，B1，B2，A为椭圆的下、上、右三个 3
顶点，△B2OF与△B2OA的面积之比为2. (1)求椭圆C的标准方程．
(2)试探究在椭圆C上是否存在不同于点B1，B2的一
点P满足下列条件：点P在y轴上的投影为Q，PQ的中点为M，直线B2M交35
直线y＋b＝0于点N，B1N的中点为R，且△MOR的面积为10.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标．
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1bcS△B2OF2c3
解析：(1)由已知得＝1＝a＝2.
S△B2OA
2abx22
又c＝3，所以a＝2，所以b＝a－c＝1，所以椭圆C的标准方程为4＋y
2
2
2
＝1.
(2)假设存在满足条件的点P，设其坐标为P(x0，y0)(x0≠0)，
2?y0－1??x0?
则Q(0，y0)，且M?2，y0?.又B2(0,1)，所以直线B2M的方程为y＝xx＋
??01.
因为x0≠0，所以y0≠1，令y＝－1， ?x0?
得N?1－y，－1?.又B1(0，－1)，
0???x0?则R?2?1－y?，－1?，
0??所以|MR|＝
x0?2?x0
－?22?1－y??＋?y0＋1?2＝
0??
1＋y0
. 1－y0
x0?x0?
直线MR的方程为y－y0＝－2y?x－2?，
?0?即2yy0＋x0x－2＝0，
所以点O到直线MR的距离为d＝11
所以S△MOR＝2|MR|·d＝2
2
＝1， 2
x20＋4y0
1＋y0352×1＝10，解得y0＝7， 1－y0
x2650
又4＋y20＝1，所以x0＝±7，
?652?所以存在满足条件的点P，其坐标为?±，?.
7??7
B组 能力提升练
5．(2020·武邑模拟)已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1,0)，A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点． (1)求P点的轨迹C的方程．
(2)四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上，且对角线EG，FH过原点O，3
若kEG· kFH＝－4，求证：四边形EFGH的面积为定值，并求出此定值．
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高考数学(文)总复习(含答案)第八章 第八节 直线与圆锥曲线的综合问题
