(i)???af(x,y)dx关于y在任何闭区间?c,d?上一致收敛，???cf(x,y)dy
关于x在任何区间?a,b?上一致收敛； (ii)积分
???adx???cf(x,y)dy与?dy?c????af(x,y)dx （18）
中有一个收敛，
则（18）中另一个积分也收敛，且
?
31. 解: 因为
??adx???cf(x,y)dy??dy?c????af(x,y)dx.
?ba1bxb?xaxdy?,所以I??dx?xydy. 由于函数xy在R??0,1???a,b?上
0alnxy满足定理19.6的条件，所以交换积分顺序得到
I??dy?xydx??a0b111?bdy?ln.
a1?y1?ab32. 解: 因为
ba?1?x?xlimsin?ln??0, x?0?xlnx??ba?1?x?xlimsin?ln??0 x?0??x?lnx所以该积分是正常积分. 交换积分次序, 得
ba1?1?x?x?1?I??sin?ln?dx??sin?ln?00?x?lnx?x?1??bab?1?1??xydydx????xysin?ln?dx?dy.
a?x???0?在上面的内层积分中作变换ln1y1?u,有 x??1?1??(y?1)uxsinlndx?esinudu?, ??2?0?0x1?(y?1)??于是
b?1b1?1??I????xysin?ln?dx?dy??dy?arctan(b?1)?arctan(a?1). 2a0a1?(y?1)?x???解法二: 取b为参量, 利用积分号下求导数的方法,有
11?1?I'(b)??sin?ln?xbdx? 201?(1?b)?x?积分上式,可得
16
I(b)?arctan(b?1)?c
由于I(a)?0,即有c??arctan(a?1),于是有
I?I(b)?arctan(b?1)?arctan(a?1).
bsinbx?sinax33. 解: 因为??cosxydy，所以
ax????bsinbx?sinaxI??e?pxdx??e?px?cosxydy???dx ?00a??x ?由于e?pxcosxy?e?px及反常积分反常积分
???0dx?e?pxcosxydy （21）
ab???0e?pxdx收敛，根据魏尔斯特拉斯M判别法，含参量
?在?a,b?上一致收敛.由于e?px??0e?pxcosxydx
cosxy在?0,??)??a,b?上连续，根据定理19.11交换积分（21）
的顺序，积分I的值不变.于是
I??dy?e?pxcosxydx??a0b??bapdy 22p?y ?arctanba?arctan. pp在上述证明中，令b?0，则有
F(p)??e?px0??sinaxadx?arctan(p?0), (22) xp由阿贝耳判别法可得上述含参量反常积分在p?0上一致收敛.于是由定理19.9，F(p)在
p?0上连续，且
F(0)??又由（22）式
??0sinaxdx. xa??sgna. p2I(a)?F(0)?lim?F(p)?lim?arctanp?0p?0在上式中，令a?1，则有I?34. 解: 由于e?x22?2.
??2cosrx?e?x对任一实数r成立及反常积分?e?x收敛①，所以原积分在
017
r????,???上收敛.
考察含参量反常积分
???由于?xe?x202?e?x2cosrxdx???xer0?'???x2sinrxdx, (24)
??2sinrx?xe?x对一切x?0,???r???成立及反常积分?xe?xdx收敛，
0根据魏尔斯特拉斯M判别法，含参量积分（24）在???,???上一致收敛. 综合上述结果由定理19.10即得
?'(r)???xe?xsinrxdx?lim0??2A???0?A?xe?xsinrxdx
2?1?x2?A1A?x2? ?limesinrx??recosrxdx?? 0A????202?? ??于是有
r???x2recosrxdx????r?. ?022r2ln??r????lnc,
4??r??ce从而??0??c，又由原积分，??0???r24.
???0e?xdx?2?2?r24，所以c??2，因此得到
??r??35. 解: 把含参数a的反常积分
?2e.
Ik(a)??e?kx0??sinaxdx(k?0,a?0). x中的被积函数关于a求偏导数, 可得
?当k?0时, 有
??0e?kxcosaxdx,
e?kxcosxy?e?kx,
因此,由M判别法, 号下求导,即
??dkIk(a)??e?kxcosaxdx?2.
0daa?k2???0e?kxcosaxdx关于参量a?0是一致收敛的,因此对Ik(a)可以在积分
因为Ik(0)?0,所以
18
Ik(a)??于是
a0kada?arctan. 1a12?k2kI(a)??令a?1,有I?36.解：
??0??sinaxa??kxsinaxdx?limedx?limarctan?. ??0?k?0k?0xxk2???0sinx?dx?. x22?22?|y|ds??L0|sin?|sin??cos?d??2?sin?d??4.
0?37.解： 直线段的参数方程是：
?x?t??y?2t0?t?1， ?z?3t?于是，
?(x?y)dx?(y?z)dy?(z?x)dz??[(t?2t)?2(2t?3t)?3(3t?t)]dt
L01??7tdt?0138.解:原式?7. 2?Pdx?Qdy??C?B,A??ABbAB??Pdx?Qdy y
????4dxdy????2?0?dx C?A,B? D0 ??4S?2b
A?0,0? B?b,0? x 39.解:
13??2323xy?ydx?x?3xydy ??????3?C?D2222????3x?3y?4?3x?3y???????dx???4dx?4ab?. D40.解： 由于
d(x2y?y2z?z2x)?(2xy?z2)dx?(2yz?x2)dy?(2zx?y2)dz，因此，全微分(2xy?z2)dx?(2yz?x2)dy?(2zx?y2)dz的原函数是x2y?y2z?z2x?C.
41.解:(Ⅰ).画出积分区域
y 19
y?x y?x
o x (Ⅱ).
???x?y?dxdy??D 1 0dx? x x?3132?32x?ydy??x?x?xdx?????0?22?20.
142.解:
????x?y?z?dxdydz??222V 2? 2? 0d??4d??r2?r2sin?dr
0 0 ? R?? 0d???4sin?d???rdr?2????cos?? 044 0 0? R?R51??2?2?R5. 55??43.解: y v
v?u v?u
o x o u
21221xyxy?xy?(Ⅰ). 由?????,得2x?xy?2y2???0.
aabbab?ab?ab244xy?xy?2于是??B?4AC?22?22?0,故?????是抛物线.令y?0,得
abab?ab?ab2xy?xy?x?0,x?a.故?????与x轴相交于?0,0?,?a,0?.
?ab?ab?xa?xy???u,x?u?v,??????x,y??u?ab?2?(Ⅱ).令? ,则?，故
??u,v??y?x?y?v.?y?b?u?v?.???u?2?ab(Ⅲ).
2?xa?v?2?yb?v2a2??ab.
b2?2 uababab 1ab 1ab2S???dxdy???dudv?dudv. ?du?dv?u?udu???????? 0 u2 0222212DD'D' 2? 1?x2y2?2244.解:??sin?2?2?dxdy ??d??sinr?rdr
0 0?ab?D21?cos2r221?1?????sinrdr???dr???r2?sin2r2??.
0 024?2?04 1222 1145.解:
???zdxdydz??V 2? 0d?? 3 0dr?r2 3 4?r2z?rdz
20
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