5. 试求极限解 由
(x,y)?(0,0)limx2?y21?x?y?122.
(x,y)?(0,0)lim(x2?y2)(1?x2?y2?1)?lim22x2?y21?x?y?1(x,y)?(0,0)x2?y2lim(1?x2?y2?1)?2 .
=(x,y)?(0,0)6. u?f(x?y,xy),f有连续的偏导数，求 解 令v?x?y,w?xy,
则
?u?u,. ?x?y?u?f?v?f?w?f?f????y?x?v?x?w?x?v?w ?u?f?v?f?w?f?f????x?w ?y?v?y?w?y?vdzx7. z?arctanxy,y?e, 求.
dx解 由
dz1'?(y?xy)2dx1?(xy)
1ex(1?x)xx?(e?xe)?x222x1?(xe)1?xe.
8. 求抛物面 z?2x?y在点 M(1,1,3)处的切平面方程与法线方程。
解 由于
y x,
在M(1,1,3)处 zx(1,1,3)?4, zy(1,1,3)?2，
22z?4x,z?2y所以, 切平面方程为
4(x?1)?2(y?1)?z?3.
即 法线方程为
4x?2y?z?3?0
x?1y?1z?3??42?1. 229. 求f(x,y)?2x?xy?y?6x?3y?5在(1,?2)处的泰勒公式.
解 由
x0?1,
y0??2,f(1,?2)?5
fx(x,y)?4x?y?6,fy(x,y)??x?2y?3,fx(1,?2)?0 fy(1,?2)?0fxx(x,y)?4,fxy(x,y)??1,fyy(x,y)??2,fxx(1,?2)?4 fxy(1,?2)??1
.
fyy(1,?2)??26
得
f(x,y)?5?2(x?1)2?(x?1)(y?2)?(y?2)2.
10. 求函数f(x,y)?e(x?y?2y)的极值. 解 由于
2x2fx?2e2x(x?y2?2y)?e2x?e2x(2?x?y2?2y)?0
fy?2e2x(y?1)?0
解得驻点(?1,?1)，
fxx?2e2x(2?x?y2?2y)?e2x,fxy?e2x(2?2y),fyy?2e2x
A?fxx(?1,?1)?e?0,22B?fxy(?1,?1)?0,C?fyy(?1,?1)?2e?2
AC?B?2?0,A?0
?2所以 (?1,?1)是极小值点, 极小值为 f(?1,?1)??2e. 11. 叙述隐函数的定义.
答: 设X?R，函数F:X?Y?R. 对于方程F(x,y)?0, 若存在集合I?XY?R，与J?Y，使得对于任何x?I，恒有唯一确定的y?J，使得(x,y)满足方程F(x,y)?0 ,则称由方程F(x,y)?0确定了一个定义在I上，值域含于J的隐函数。一般可记为
y?f(x) x?I,y?J. 且成立恒等式
F(x,f(x))?0,x?I.
12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 答: 若F(x,y)满足下列条件:
2（i）函数F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D?R上连续;
（ii）F(x0,y0)?0（通常称为初始条件）; （iii）在D内存在连续的偏导数Fy?x,y?; （iv）Fy?x0,y0??0,
则在点P0的某邻域U(P0)?D内，方程F?x,y?=0唯一地确定了一个定义在某区间
(x0??,x0??)内的函数（隐函数）y?f(x)，使得
1o f?x0??y0,x?(x0??,x0??)时(x,f(x))?U(P0)且F?x,f(x)??0；
7
2° f?x?在(x0??,x0??)内连续. 13. 叙述隐函数可微性定理的内容. 答: 若F(x,y)满足下列条件:
（i）函数F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D?R2上连续; （ii）F(x0,y0)?0（通常称为初始条件）; （iii）在D内存在连续的偏导数Fy?x,y?; （iv）Fy?x0,y0??0,
又设在D内还存在连续的偏导数Fx(x,y)，则由方程F(x,y)?0所确定的隐函数在
y?f(x)在其定义域(x0??,x0??)内有连续导函数，且
f'(x)??Fx(x,y).
Fy(x,y)14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
答: 设y?f(x)在x0的某邻域内有连续的导函数f'(x)，且f(x0)?y0; 考虑方程
F(x,y)?y?f(x)?0.
由于
F(x0,y0)?0, Fy?1, Fx(x0,y0)??f'(x0),
所以只要f'(x0)?0，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程F(x,y)?y?f(x)?0能确定出在y0的某邻域U(y0)内的连续可微隐函数x?g(y)，并称它为函数y?f(x)的反函数.反函数的导数是
g'(y)??33FyFx??11?.
?f'(x)f'(x)15. 解: 显然F(x,y)?x?y?3axy及Fx,Fy在平面上任一点都连续，由隐函数定理知
2道，在使得Fy?x,y??3y?ax?0的点?x,y?附近，方程x?y?3axy?0都能确定隐
33??函数y?f(x)；所以，它的一阶与二阶导数如下：
对方程求关于x的导数（其中y是x的函数）并以3除之，得
x2?y2y'?ay?axy'?0,
8
或
?x于是
2?ay???y2?ax?y'?0. （1）
ay?x2y'?2. ?y2?ax?0?. （2）
y?ax再对（1）式求导，得：2x?ay'?(2yy'?a)y'?(y?ax)y''?0, 即
2y''(y2?ax)?2ay'?2yy'2?2x. （3）
把（2）式代入（3）式的右边，得
?2a3xy?2xy(x3?y3?3axy)2ay'?2yy'?2x?.
(y2?ax)22再利用方程就得到
2a3xyy''??2. 3(y?ax)16. 解: 由于F(0,0,0)?0,Fz(0,0,0)??1?0,F,Fx,Fy,Fz处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点(0,0,0)附近能惟一确定连续可微得隐函数z?f(x,y)，且可求得它得偏导数如下：
Fx?zyz3?2x???, ?xFz1?3xyz2Fyxz3?3y2?z???. 2?yFz1?3xyz17. 解: (1)令F(x,y,z)?x?y?z?3xyz, 则有
222Fx?2x?3yz, Fy?2y?3xz, Fz?2z?3xy.
由于F(P0)?0, Fx, Fy, Fz均连续,且
Fy(P0)?Fz(P0)??1?0,
故在点P0(1,1,1)附近由上述方程能确定隐函数y?y(z,x)和z?z(x,y). (2)当Fy?0时, 由定理知
yx??
Fx2x?3yz??; Fy2y?3xz9
同理, 当Fz?0时, 由定理知
zx??于是求得
Fx2x?3yz??. Fz2z?3xyfx(x,y(z,x),z)?f1?f2yx?y2z3?2xyz3yx2xyz3(2x?3yz)
?yz?,2y?3xz23fx(x,y,z(x,y))?f1?f3zx?y2z3?3xy2z2zx3xy2z2(2x?3yz)
?yz?.2z?3xy23并且有
fx(1,y(1,1),1)??1, fx(1,1,z(1,1))??2.
18. 解: 首先，F(P0)?G(p0)?0,即P0满足初始条件. 再求出F，G的所有一阶偏导数
Fx??2x,Fy??1,Fu?2u,Fv?2v, Gx??y,Gy??x,Gu??1,Gv?1.
容易验算，在点P0处的所有六个雅可比行列式中只有
?(F,G)?(x,v)?P0FxGxFvGv?P0?44?0.
?11因此，只有x,v难以肯定能否作为以y,u为自变量的隐函数. 除此之外，在P0的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.
如果我们想求得x?x(u,v),y?y(u,v)的偏导数，只需对方程组分别关于u,v求偏导数，得到
??2u?2xxu?yu?0, （1）
??1?yxu?xyu?0,?2v?2xxv?yv?0, （2） ?1?xy?yx?0.vv?由（1）解出
xu?2xu?12x?2yu,y??. u2x2?y2x2?y10
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