统计专业和数学专业数学分练习题 计算题
2?xy?4.
(x,y)?(0,0)xy1?cos(x2?y2)2. 试求极限lim.
22x2y2(x,y)?(0,0)(x?y)e113. 试求极限lim(x?y)sinsin.
(x,y)?(0,0)xy1. 试求极限
limxy24. 试讨论lim.
(x,y)?(0,0)x2?y45. 试求极限
(x,y)?(0,0)limx2?y21?x?y?122.
?u?u,. ?x?y6. u?f(x?y,xy),f有连续的偏导数，求 7. z?arctanxy,y?e, 求
xdz. dx228. 求抛物面 z?2x?y在点 M(1,1,3)处的切平面方程与法线方程.
229. 求f(x,y)?2x?xy?y?6x?3y?5在(1,?2)处的泰勒公式.
10. 求函数f(x,y)?e(x?y?2y)的极值. 11. 叙述隐函数的定义.
12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 13. 叙述隐函数可微性定理的内容.
14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数. 15. 讨论笛卡儿叶形线
2x2x3?y3?3axy?0
所确定的隐函数y?f(x)的一阶与二阶导数. 16. 讨论方程
F(x,y,z)?xyz3?x2?y3?z?0
在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数. 17. 设函数f(x,y,z)?xyz, 方程
23x2?y2?z2?3xyz.
(1)验证在点P0(1,1,1)附近由上面的方程能确定可微的隐函数y?y(z,x)和z?z(x,y); (2)试求fx(x,y(x,z),z)和fx(x,y,z(x,y)),以及它们在点y?f(x)处的值. 18. 讨论方程组
1
?F(x,y,u,v)?u2?v2?x2?y?0, ??G(x,y,u,v)??u?v?xy?1?0在点P0(2,1,1,2)近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。 19. 设方程组
?u2?v2?x2?y2?1, ??u?v?xy?0. 问在什么条件下,
(1)由方程组可以唯一确定u,v是x,y的可微函数? (2)由方程组可以唯一确定u,x是v,y的可微函数?
20. 求球面x?y?z?50与锥面x?y?z所截出的曲线的点(3, 4, 5)处的切线与法平面方程。
21. 求曲面e?z?xy?3在点M0(2,1,0)处的切平面与法线方程.
22. 抛物面x?y?z被平面x?y?z?1截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.
23. 叙述含参量x的正常积分定义.
24. 叙述含参量x的正常积分的连续性定理的内容. 25. 叙述含参量x的无穷限反常积分定义.
26. 叙述含参量x的无穷限反常积分的一致收敛性定义.
27. 叙述含参量x的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则. 28. 叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法. 29. 叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法. 30. 叙述含参量反常积分的可积性定理内容. 31. 求I?22z222222?10xb?xadx(b?a?0). lnx1ba?1?x?xdx (a?0,b?0). 32. 计算积分 ?sin?ln?0xlnx??33. 计算
I??e?px0??sinbx?sinaxdx(p?0,b?a).
x??sinxsinaxdx, I??dx
0xx并由此计算
I(a)??34. 利用公式
??0???0e?xdx?2?2, 计算
2
?(r)??e?xcosrxdx.
0??235. 利用可微性计算关于参数a的含参量反常积分
Ik(a)??e?kx0??sinaxdx(k?0,a?0). x并由此计算
I(a)??36. 计算37.计算
??0??sinxsinaxdx, I??dx
0xx?LL|y|ds，其中L为单位圆周x2?y2?1.
?(x?y)dx?(y?z)dy?(z?x)dz，其中L为从(0,0,0)到(1,2,3)的直线段.
38.求积分??5xy?2?dx??5xy?4x?siny?dy,其中曲线C?A,B?与x轴围成
34432C?B,A?的面积为S.
x2y213?2?3239.求??3xy?y?2x?dx??x?3xy?4x?1?dy,其中C:a2?b2?1. ?3?C?40.求全微分(2xy?z)dx?(2yz?x)dy?(2zx?y)dz的原函数. 41.求42.求
2y?x,y?x围成. 其中由x?ydxdy,D????222????xVD2?y2?z2?dxdydz,其中V由z2?x2?y2,x2?y2?z2?R2?z?0?所围成
2的有界闭区域.
xy?xy?43.求??????a?0,b?0?与y?0所围成区域D的面积.
?ab?ab2x2y2y2?2?x44.求??sin?2?2?dxdy,其中D是2?2?1. ab?ab?D12222245.求???zdxdydz,其中V由z??x?y?,x?y?z?4?z?0?所围成的有界闭区
3V域. 46.求47.求
??zd?,其中S:xSS2?y2?z2?a2?0?h?z?a?.
2222x?y?z?a(x?0,y?0),取球面的外侧为正侧. zdxdy,S是??48.设f(u)具有连续导数,求
?3?1?y2?3??2?y2?3?y2?z2?2?x?sin?dydz??f???y?dzdx??f???z?dxdy. ò????2S??z?z???y?z???22222222222其中S为y?x?z,y?x?z?a,y?x?z?b?0?a?b?所围立体的表面的
外侧.
3
49.求
?13??13?132?x?y?x?sinzdydz?y?cosxdzdx?z?2e??????dxdy,其中S是ò??3??3??3?S?2V???x,y,z?x?y2?z2?a2的表面,取外侧为正侧?a?0?.
222?x2y2z250.计算积分I???xydydz?yzdzdx?zxdxdy，其中S是椭球面2?2?2?1的
abcS外侧.
4
1. 试求极限解
2?xy?4.
(x,y)?(0,0)xylim2?xy?4xy?lim(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)xy(2?xyxy?4)
11?lim?(x,y)?(0,0)2?xy?44lim2. 试求极限 解 由
(x,y)?(0,0) .
lim1?cos(x2?y2)(x?y)e22x2y2.
x2?y22sin1?cos(x2?y2)x2?y22lim?lim?x2y22222x2y2(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)x?y2(x?y)ee4()2
1??0?02 . 113. 试求极限lim(x?y)sinsin.
(x,y)?(0,0)xy2解 由于
111111lim(x?y)sinsin?lim(xsinsin?ysinsin)(x,y)?(0,0)xy(x,y)?(0,0)xyxy ,
又 x?y,
所以
21111xsinsin?0limysinsin?0(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)xyxy， , lim
所以
11lim(x?y)sinsin?0(x,y)?(0,0)xy .
xy24. 试讨论lim.
(x,y)?(0,0)x2?y4解 当点(x,y)沿直线y?x趋于原点时，
xy2x3lim2?lim2?0x?0x?y4x?0x?x4.
y?x?0
当点(x,y)沿抛物线线x?y趋于原点时，
2 x?y?0 .
因为二者不等，所以极限不存在.
xy2y41lim2?lim?y?0x?y4y?0y4?y4225
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