* *
习题1.2
1．
dy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 dxdy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x2+c yx2解：
y=e+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0
原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e
2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y2dx=-(x+1)dy
x2.
dy1dy=-dx 2yx?1两边积分: -
11=-ln|x+1|+ln|c| y=
ln|c(x?1)|y另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=
1
ln|c(x?1)|dy1?y23．= 3dxxy?xydy1?y21 解：原方程为：=
yx?x3dx1?y21dy=dx 3yx?x两边积分：x(1+x)(1+y)=cx
4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：
2221?yx?1dy=-dx
yx* *
两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：
x?ydy=- x?ydxdyduy=u 则=u+x 代入有：
dxdxxu?11-2du=dx
xu?1令
ln(u2+1)x2=c-2arctgu 即 ln(y+x)=c-2arctg6. x
22y. x2dy-y+x2?y2=0 dxy2dyy|x|=+-1?()
xdxxx 解：原方程为：
则令
dyduy=u =u+ x
dxdxx du=sgnx
11?u2arcsin
1dx xy=sgnx ln|x|+c x7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：
dxdy= tgyctgx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=
1c= 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.
ccosxcosx所以原方程的通解为sinycosx=c.
* *
dyey?3x8 +=0 dxy 解：原方程为：
2 e3x-3e
2dye=e3x dxy=c.
y2?y29.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：
dyyy=ln dxxxdyduy令=u ,则=u+ x
dxdxx u+ x
du=ulnu dxln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln
10.
y=cy. xdyx?y=e dxdyx?y=ee dx 解：原方程为：
e=ce
11
yxdy2=(x+y) dxdydu=-1 dxdx 解：令x+y=u,则
du2-1=u dx1du=dx 1?u2arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c
12.
1dy= 2dx(x?y)* *
解：令x+y=u,则
dydu=-1 dxdxdu1-1=2 dxu u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.
dy2x?y?1= x?2y?1dx解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y2-y)-dx2+x=c xy-y2+y-x2-x=c
14:
dyx?y?5= dxx?y?2解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(
21212y+2y)-d(x+5x)=0 222 y+4y+x+10x-2xy=c.
dy22=(x+1) +(4y+1) +8xy?1 dxdy2 解：原方程为：=（x+4y）+3
dxdy1du1令x+4y=u 则=-
dx4dx41du12-=u+3 4dx4du2=4 u+13 dx3u=tg(6x+c)-1
22tg(6x+c)=(x+4y+1).
315:
* *
16:证明方程
xdy=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程： ydx1） y(1+x2y2)dx=xdy
xdy2?x2 y2 2） =
ydx2-x2y2dydu+y= dxdxdy1duu 则=-2，有：
dxxdxxxdu =f(u)+1
udx 证明： 令xy=u,则x
11du=dx
u(f(u)?1)x 所以原方程可化为变量分离方程。
1） 令xy=u 则
dy1duu=- (1) dxxdxx2dyy2原方程可化为：=[1+（xy）] (2)
dxx1duuu2将1代入2式有：-2=(1+u)
xdxxxu=u2?2+cx
17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x- x )+ y 则与x轴，y轴交点分别为： x= x0 -
y0 y= y0 - x0 y’ y'y0 所以 xy=c y' 则 x=2 x0 = x0 -
18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中? =解：由题意得：y’=
? 。 41y1 dy= dx
yxx
常微分方程第三版课后知识题目解析
