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数论训练试题
一．填空题（共12小题） 1．（2008?宁乡县）大于1的三个连续自然数中，一定有一个是3的倍数，至少有一个是偶数 _________ ． 2．（2004?广州）小明与十多个小朋友围成一圈，如果依次按顺时针方向l，2.3，1，2，3，…报数，小明第一次是报1，第二次还是报1；如果依次按逆时针方向1，2，3，4，1，2，3，4，…报数，小明第一次报1，第二次报数是还是报1．那么包括小明在内，共有 _________ 个小朋友．
3．将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，得到的和恰好是某个自然数的平方，这个和是 _________ ．
4．100以内所有被5除余1的自然数的和是 _________ ．
5．a、b、c、d、e这五个数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，20，50，60，100，120，300．那么，这五个数中从小到大排列依次是 _________ ．
6．（2002?上海）一个两位数ab，若a?a?b是一个奇数，则称这个两位数为“好数”，两位“好数”共有 _________ 个．
7．某个质数与6、8、12、14之和都仍然是质数，一共有 _________ 个满足上述条件的质数．
8．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到2个商的和是16，这两个整数分别是 _________ 和 _________ ．
9．已知一个五位数1a75b能被 72整除，则这个五位数是 _________ ．
10．如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么，1000以内最大的“希望数”是 _________ ． 11．（2005?广州）有一类自然数，各个数位上数字之和为2008，这类自然数中最小的一个是 _________ 位数，最高位上的数字是 _________ ．
12．如果仅用奇数数码组成的所有可能的三位数，那么这些三位数的和是 _________ ． 一．解答题（共6小题） 13．（2007?南岗区）已知三个质数P1＜P2＜P3，且P12+P22+P32=2238，求这三个质数．
14．将2008写成3个不同的质数之和，其中最大的质数的最大可能值是多少？ 1
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15．求小于1001且与1001互质的所有自然数的和． 16．的乘积中，各位数字的和是多少？
17．求从1～2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差．
18．四个连续奇数的和一定是8的倍数吗？为什么？
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参考答案与试题解析
一．解答题（共18小题） 1．（2008?宁乡县）大于1的三个连续自然数中，一定有一个是3的倍数，至少有一个是偶数 正确． ．
考点： 数字问题． 专题： 数的整除．
分析： 由于自然数中3的倍数为3，6，9，…，即每两个3的倍数之间相隔两个数，大于1的三个连续自然数中，
一定有一个是3的倍数；自然数中每相邻的两个自然数相差1，设这三个连续的自然数中第一个数为x，则第二个数为x+1，第三个数为x+2，如果为x为偶数，根据数和的奇偶性可知，x+2也为偶数，即这三个数中有两个偶数，如果x为奇数，则x+1为偶数，x+2为奇数，即三个数中只有一个偶数．所以大于1的三个连续自然数中，至少有一个是偶数．
解答： 解：由于每两个3的倍数之间相隔两个数，
大于1的三个连续自然数中，一定有一个是3的倍数；
自然数中每相邻的两个自然数相差1，设这三个连续的自然数中第一个数为x， 则第二个数为x+1，第三个数为x+2，
如果为x为偶数，则x+2也为偶数，即这三个数中有两个偶数，
如果x为奇数，则x+1为偶数，x+2为奇数，即三个数中只有一个偶数． 则大于1的三个连续自然数中，至少有一个是偶数．
所以，于1的三个连续自然数中，一定有一个是3的倍数，至少有一个是偶数说法正确．
点评： 根据自然数的排列规律及数和的奇偶性进行分析是完成此类问题的关键． 2．（2004?广州）小明与十多个小朋友围成一圈，如果依次按顺时针方向l，2.3，1，2，3，…报数，小明第一次是报1，第二次还是报1；如果依次按逆时针方向1，2，3，4，1，2，3，4，…报数，小明第一次报1，第二次报数是还是报1．那么包括小明在内，共有 12 个小朋友．
考点： 数字问题．
分析： 顺时针报数时，每3人一组，小明两次都是报1，说明人数是3的倍数；逆时针报数时，每4人一组，小明
两次都是报1，说明人数是4的倍数．即这个数3、4的公倍数，又只有十多个小朋友，10～20只间，只有12是3、4的公倍数，所以连小明在内共有12个小朋友．
解答： 解：据题意可知，总人数是数3、4的公倍数，
又只有十多个小朋友，10～20只间，只有12是3、4的公倍数， 所以连小明在内共有12个小朋友． 故答案为：12．
点评： 完成本题的关健是通过分析题意得出这个数是3、4的公倍数．
3．将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，得到的和恰好是某个自然数的平方，这个和是 121 ．
考点： 数字问题．
分析： 设这个数的个位数为b，十位数为a，则这个数为10a+b，个位数与十位数交换后为：10b+a，两数的和为：
10a+b+10b+a=11（a+b），则两数的和为11的倍数，得到的和恰好是某个自然数的平方，所以它们的和是11×11=121．
解答： 解：把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，和一定是11的倍数，
所以，它们的和是11×11=121，这个数的两个数字之和是11， 这个数是29，92，38，83，47，74，65或者56． 故答案为：121．
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点评： 任意一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，和一定是11的倍数．
4．100以内所有被5除余1的自然数的和是 970 ．
考点： 数字问题． 专题： 综合填空题．
分析： 100以内所有被5除余1的自然数为1，6，11，…96，这些数构成一个公差为5的等差数列，由此根据高斯
求和公式即能求出它们的和是多少．
解答： 解；100以内所有被5除余1的自然数成一个公差为5的等差数列：即1，6，11，…96，它们的和为：
1+6+11+…96
=（1+96）×[（96﹣1）÷5+1]÷2 =97×20÷2， =970．
故答案为：970．
点评： 自然数中所有被n（n为不零的自然数）除余1的自然数构成一个公差为n的等差数列．
5．a、b、c、d、e这五个数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，20，50，60，100，120，300．那么，这五个数中从小到大排列依次是 1、3、6、15、20 ．
考点： 数字问题．
分析： 设a＜b＜c＜d＜e，那么最小的两个积为：ab=3，ac=6，最大的两个积为：ce=120，de=300，根据这四个
算式找出这几个数之间的倍数关系，都用b代替．由此解决问题．
解答： 解：设a＜b＜c＜d＜e，则：
ab=3，
a=； ac=6， c=6， c=2b； ce=120， 2be=120， e=
；
de=300 d=300÷e =300÷=5b；
那么这五个数就可以表示为：，b，2b，5b，
．
经验证b=3时符合题意，
所以，这五个数从小到大排列依次是：1，3，6，15，20，
点评： 用一个数来代替其它数，然后根据它们的乘积求出这个数与其它数的倍数关系是完成本题的关键．
6．（2002?上海）一个两位数，若a+a×b是一个奇数，则称这个两位数为“好数”，两位“好数”共有 25 个．
考点： 奇偶性问题．
分析： 由于偶数+奇数=奇数，偶数×奇数=偶数，所以a+a×b是一个奇数，则a一定是奇数，b一定是偶数，0～9
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共有5个奇数，5个偶数，根据乘法原理，两位好数共有5×5=25个．
解答： 解：由于a+a×b是一个奇数，
所以a一定是个奇数，若a是偶数，则a+a×b一定是个偶数，与题设矛盾；
b一定是个偶数，若b是个奇数，则a+a×b=奇数+奇数×奇数=奇数+奇数=偶数，与题设矛盾； 0～9共有5个奇数，5个偶数，
所以，两位“好数”共有：5×5=25个． 故答案为：25．
点评： 根据已知条件及数的奇偶性确定a、b两数的奇偶性是完成本题的关键．
7．某个质数与6、8、12、14之和都仍然是质数，一共有 1 个满足上述条件的质数．
考点： 质数与合数问题．
分析： 个位数的质数是2、3、5、7、9，大于10的质数的个位数一个不是0、2或5，是1、3、7或9；由于6、8、
12、14是偶数，则这个质数的个位数一定为奇数，即为1，3，5，7，9．然后将它们分别与6、8、12、14相加进行验证排除即可．
解答： 解：6，8，12，14都是偶数，加上唯一的偶数质数2和仍然是偶数，所以不是2．
14加上任何尾数是1的质数，最后的尾数都是5，一定能被5整除． 12加上任何尾数是3的质数，尾数也是5； 8加上任何尾数是7的质数，尾数也是5； 6加上任何尾数是9的质数，尾数也是5． 所以，这个质数的末位一定不是1，3，7，9．
5加上6、8、12、14中任意一个数的末位数都不是5，而末位数是5的质数中，只有5是质数， 因此，只有5能满足条件，即一共有1个满足上述条件的质数． 故答案为：1．
点评： 明确除2和5以外质数的个位都是1，3，7，9，大于10的个位数是5数一定不是质数这两个规律是完成本
题的关键．
8．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到2个商的和是16，这两个整数分别是 175 和 385 ．
考点： 公约数与公倍数问题．
分析： 因为1925=5×5×7×11，由于商的和是16，看约数情况，这里只能是11+5=16；所以2个商应该是11和5，
所以这两个数应该是5×7×5和5×7×11；这样除以最大公约数5×7就剩下5和11；所以这两个数就是5×7×5=175和5×7×11=385．
解答： 解：1925=5×5×7×11，
11+5=16；所以2个商应该是11和5； 5×7×5=175，5×7×11=385；
答：这两个整数分别是175和385； 故答案为：175，385．
点评： 此题解题的关键是先把1925进行分解质因数，然后结合题意，进而得出所需数字，然后根据公约数的知识
进行分析解答即可．
9．已知一个五位数能被 72整除，则这个五位数是 13752 ．
考点： 数的整除特征． 分析： 72=8×9，五位数一定能被8、9同时整除，根据能被8、9整除的数的特征解答即可． 解答： 解：一个数的百位、十位、个位组成的三位数能被8整除这个数就能被8整除，
75b能被8整除，只有b=2； 所以个位上的数应该是2，
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小学数论试卷
