第三节 不定积分的概念和性质
由牛顿－莱布尼兹公式知道,计算定积分的关键是求出被积函数的原函数.上节例题中的被积函数的原函数很容易求出,但更一般的情况下,被积函数的原函数却往往不易直观地求出（有时甚至不能求出）.因此,有必要专门研究求原函数的方法.
一、不定积分的概念
定义1 函数
f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分,记作
?f(x)dx,
其中?称为积分号,
f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.
f(x)的一个原函数F(x),则F(x)?C就是f(x)的不定
由上节关于原函数的讨论可知,如果能找到积分,即
?f(x)dx?F(x)?C,
其中常数C为任意常数.
求不定积分的方法叫做积分法,积分法是从某一函数的导数出发寻求这个函数的过程.所以积分法是微分
法的逆运算.
例如,由于 (sinx)??cosx,所以cosxdx?sinx?C,
? 同样,(arctanx)??11?x2,则
1?1?x2dx?arctanx?C.
由不定积分定义,可知下列关系：
yy?f(x)??f(x)dx???f(x)或d?f(x)dx??f(x)dx； ????f?(x)dx?f(x)?C 或?df(x)?f(x)?C.
由此可见,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.要注意的是：先积分后微分时两种运算互相抵消；而先微分后积分时两种运算互抵后相差一个常数.
Ox图5-8 x 在平面直角坐标系中,
f(x)的任一个原函数F(x)的图
形称为
f(x)的一条积分曲线,其方程是y?F(x) .由前面的讨论知道,如果f(x)有一条积分曲线
y?F(x),则f(x)就有无穷多条积分曲线,它们的方程为y?F(x)?C,这些积分曲线的全体称为
f(x)的积分曲线族.积分曲线族中每一条曲线都可由另一条积分曲线沿y轴方向平移而得到(图5-8),且
由(F(x)?C)??几何意义.
例 1 一曲线在任意点处的切线斜率等于这点横坐标的3倍,且曲线过点(2,5),求此曲线的方程. 解 设此曲线方程为点(x,f(x)知道,积分曲线族上横坐标相同的对应点处的切线相互平行,这就是不定积分的
y?f(x),依题设,曲线上任一
,即
yy)处的切线斜率为y??3x32x?C, 2f(x)是3x的原函数.因为
?3xdx?故所求曲线为
y?32x?C中的一条.又由 2O?1图5-9 x 32曲线过点(2,5),所以5??2?C得C??1,于是, 所求
2曲线方程为
y?它是积分曲线族
32x?1. 232x?C中过点(2,5)的那条积分曲线(见图5-9). 2二、基本积分表
y?既然积分法是微分法的逆运算,所以把导数(或微分)公式逆推过来,就得到基本积分公式： (1)
?kdx?kx?C(k为常数)；
??xdx?(2)
1x??1?C (???1)；
??1(3)(4)
1?xdx?ln|x|?C；
xxedx?e?C； ?
ax(5)?adx??Clnax；
(6)
?sinxdx??cosx?C；
(7)(8)(9)
?cosxdx?sinx?C；
?sec2xdx?tanx?C；
2cscxdx??cotx?C； ?(10)
?secxtanxdx?secx?C ；
(11)
?cscxcotxdx??cscx?C；
?11?x2(12)
dx?arcsinx?C；
1dx?arctanx?C. (13) ?21?x 公式(1)至(13)是计算不定积分的基础,必须熟记. 例 2 求下列不定积分： (1)
?11dx； (2)dx. 2?xx1x?2?11?2解 (1)dx?xdx??C???C. ?x2??2?1x1xdx?xdx??C?2x?C. ?x?1??12三、不定积分的性质
(2)性质 1 设函数
1?21??12f(x)和g(x)的原函数存在,则
??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx. (1)
证
??f(x)dx??g(x)dx?????f(x)dx?????g(x)dx???f(x)?g(x).
这表示(1)式的右端是
f(x)?g(x)的原函数,且右端两项积分所含任意常数的和仍为一个任意常数,故(1)
式右端是f(x)?g(x)的不定积分.
注意：性质1可推广到有限多个函数得情形,即
??f(x)?f(x)??f(x)?dx??f(x)dx??f(x)dx???f12n12
n(x)dx.性质 2 设函数
证 因为
f(x)的原函数存在,k为非零常数,则
?kf(x)dx?k?f(x)dx(k?0). (2)
?kf(x)dx??k?f(x)dx??kf(x). ??????''又(2)式右端积分中含任意常数,所以(2)式的右端是kf(x)的不定积分.
利用基本积分表及上述两个运算性质,先将被积函数通过代数或三角恒等式变形,求出不定积分的方法,称为直接积分法.
例 3 求
x(2e??sinx)dx.
解
?(2ex?sinx)dx??2exdx??sinxdx
xxedx?sinxdx?2e?cosx?C. ?? =2注意：检验积分结果是否正确,只需将结果求导,看是否等于被积函数即可.如此例中,由于
?2ex?cosx?C??2ex?sinx,
'所以积分结果是正确的. 例 4 求
?(x?2)dx. x113111??22)dx??(x2?2x2)dx??x2dx?2?x2dx?x2?4x2?C. 解 ?(x?3x有些积分,可以利用初等数学中的一些恒等变形,把被积函数化为基本积分表中的形式,再逐项积分. 例 5 求(2tanx?3cotx)2dx.
?解
222(2tanx?3cotx)dx?4tanx?9cotx?12?dx ???
???4sec2x?9csc2x?1?dx?4tanx?9cotx?x?C.
注意：tan例 6 求
2x?sec2x?1cot2x?csc2x?1.
xdx. 21112x解 ?sindx??(1?cosx)dx??1dx??cosxdx
222211 ?x?sinx?C.
222sin?dx例 7 计算?
sin2xcos2x解
dxsin2x?cos2x11?dx?dx??sin2xcos2x?sin2xcos2x?cos2x?sin2xdx
?tanx?cotx?C.
x2例 8 求?dx.
1?x2x21?x2?11解 ?dx?dx?1dx?dx?x?arctanx?C. 222???1?xx?11?x例 9 求
xx3?edx.
xx
3e??3xexxx?C??C. 解 ?3edx???3e?dx?ln?3e?ln3?1
习题 5-3
1．求下列不定积分： (1)
例9讲解
?(3x2?2x?8)dx； (2)?4x?2?3x?1dx；
4x
高数 第五章-不定积分概念计算（3-4节） - 图文
