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《平行线》复习讲义
一、教学容：
1. 了解对顶角的概念，掌握其性质，并会用它们进行推理和计算．
2. 了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义． 3. 知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．
4. 知道两直线平行同位角相等，并进一步探索平行线的特征．
5. 知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线．会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．
6. 掌握平行线的三个判定方法，并会用它们进行直线平行的推理．
二、知识要点：
1. 两条直线的位置关系
（1）在同一平面，两条直线的位置关系有两种：相交与平行． （2）平行线：在同一平面，不相交的两条直线叫平行线． 2. 几种特殊关系的角
（1）余角和补角：如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角．如果两个角的和是平角，称这两个角互为补角．
（2）对顶角：
①定义：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角叫对顶角． ②性质：对顶角相等．
（3）同位角、错角、同旁角
两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角．
①在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做错角． ②在两条直线的同一侧并且在第三条直线同旁的两个角叫做同位角． ③在两条直线之间并且在第三条直线同旁的两个角叫做同旁角． 3. 主要的结论 （1）垂线
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． （2）平行线的特征及判定 平行线的判定 同位角相等，两直线平行 错角相等，两直线平行 同旁角互补，两直线平行 平行线的特征 两直线平行，同位角相等 两直线平行，错角相等 两直线平行，同旁角互补 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 4. 几个概念
（1）垂线段：过直线外一点，作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段． （2）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度． 5. 几个基本图形
（1）相交线型．①一般型（如图①）；②特殊型（垂直，如图②）．
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CAOD①BACOD②B
（2）三线八角．①一般型（如图①）；②特殊型（平行，如图②）．
EBACDF①CF②DAEB
三、重点难点：
重点有两个：一方面要掌握关于相交线和平行线的一些基本事实，另一方面学会借助三角尺上的直角或量角器画已知直线的垂线，用移动三角尺的方法画平行线．难点是是利用对顶角的性质、平行线的特征、两直线平行的条件等进行推理和计算．
四、考点分析：
考查（1）对顶角的性质；（2）平行线的识别方法；（3）平行线的特征，其中依据平行线的识别与特征解决一类与平行线有关的几何问题是历届中考命题的重要考点．常见题型有填空题、选择题和解答题，单纯考查一个知识点的题目并不难，属于中低档题，将平行线的特征与其他知识综合起来考查的题目难度较大，属高档题．
【典型例题】
例1. 如图所示，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4，求∠α、∠D、∠B的度数．
FABDEC2α1
分析：由条件∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4．可以分别设出∠α、∠D、∠B，再根据题目给出的条件建立方程求解．
解：设∠α＝2x，∠D＝3x，∠B＝4x． ∵FC∥AB∥DE，
∴∠2＋∠B＝180°，∠1＋∠D＝180°， ∴∠2＝180°－4x，∠1＝180°－3x， 又∵∠1＋∠α＋∠2＝180°，
∴180°－3x＋2x＋180°－4x＝180°，
∴5x＝180°，x＝36°，
∴∠α＝2x＝72°，∠D＝3x＝108°，∠B＝4x＝144°．
评析：解答这类计算题不仅要熟悉图形的性质，还要善于进行等量转化，把待求的角逐
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步和已知条件建立起联系来，当待求结论要经过复杂过程才能求得时，一定要思路清晰、叙述表达严密．
例2. 如图所示，直线a∥b，则∠A＝__________．
A28°Aab28°DE50°E50°BBab
分析：已知条件a∥b能转化为三线八角，过A作AD∥a，那么已知的两个角可转换到顶点A（都用错关系转化），可求∠A. 由AD∥a，a∥b，可知AD∥b，由两直线平行错角相等得：∠DAB＝∠ABE＝28°，∠DAE＝50°，∴∠EAB＝50°－28°＝22°．
解：22°
评析：用平行线三线八角把已知角转化成以A为顶点的角即可．
例3. 已知：如图所示，DF∥AC，∠1＝∠2．试说明DE∥AB.
AF2BD1CECC
分析：要说明DE∥AB，可以证明∠1＝∠A，而由DF∥AC，有∠2＝∠A，又因为∠1＝∠2，故有∠1＝∠A，从而结论成立．
解：∵DF∥AC（已知），
∴∠2＝∠A（两直线平行，同位角相等）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠A（等式性质），
∴DE∥AB（同位角相等，两直线平行）．
评析：说明两直线平行的方法有：①同位角相等，两直线平行；②错角相等，两直线平行；③同旁角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行；⑤垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
例4. 试说明：两条平行线被第三条直线所截，一对错角的平分线互相平行． 分析：先根据题意画出图形，标注字母，找出已知条件和问题，再进行说明．
EANCG1M2HDFB
解：已知：如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H，GM、HN分别平分∠BGF、∠EHC. 说明GM∥HN．
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∵GM、HN分别平分∠BGF、∠EHC（已知）， ∴∠1＝∠BGF，∠2＝∠EHC（角平分线定义）． ∵AB∥CD，
∴∠BGF＝∠EHC（两直线平行，错角相等）． ∴∠1＝∠2．
∴GM∥HN（错角相等，两直线平行）． 评析：（1）上题把错角平分线改为同位角平分线，原结论也成立，请同学们自己试着解一解．（2）此题为文字题，首先应根据题意画出图形，再根据已知条件和结论结合图形写出解题过程．
例5. 如图所示，已知CE∥DF，说明∠ACE＝∠A＋∠ABF．
GACDE
分析：结论中∠ACE，∠A与∠ABF在三个顶点处，条件CE∥DF不能直接运用，结论形式启示我们用割补法，即构造一个角等于∠A＋∠ABF，因此想到在点A处补上一个∠GAB＝∠ABF，只要GA∥DF即可，同时可得GA∥CE，∠GAC＝∠ACE，结论便成立．
解：过A作AG∥DF，
∴∠GAB＝∠ABF（两直线平行，错角相等） 又∵AG∥DF，CE∥DF（已知）
∴AG∥CE（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴∠GAC＝∠ACE（两直线平行，错角相等） 又∵∠GAC＝∠BAC＋∠GAB（已知） ∴∠ACE＝∠BAC＋∠ABF（等量代换）． 评析：（1）割补法是一种常用方法．（2）此题还可以过点C作一条直线与AB平行，把∠ACE分成两个角后，分别说明这两个角与∠A、∠ABF相等．
例6. 解放战争时期，有一天江南某游击队在村庄A点出发向正东行进，此时有一支残匪在游击队的东北方向B点处（如图所示，残匪沿北偏东60°角方向，向C村进发．游击队步行到A’处，A’正在B的正南方向上，突然接到上级命令，决定改变行进方向，沿北偏东30°方向赶往C村．问游击队进发方向A’C与残匪行进方向BC至少是多少角度时，才能保证C村村民不受伤害？
北BC北DBECBF
分析：如图可知A’C与BC的夹角最小值是∠BCA’．本题关键是引辅助线，延长A’B到D，过C作CE∥A’D，通过平行线特征来求解．
解：根据题意∠DBC＝60°，∠BA’C＝30°．
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AA'东AA'东.
过点C作CE∥A’B，
则∠BCE＝∠DBC＝60°，∠A’CE＝∠BA’C＝30°． ∴∠BCA’＝∠BCE－∠A’CE＝60°－30°＝30°． 夹角至少为30°时才能保证C村村民不受伤害．
评析：本题较综合地运用了角、方位角、平行线的有关知识．
【方法总结】 1. 方程的思想
几何图形中常见一些已知线段、角，而要求未知线段和角，我们可以把它们分别视为已知量、未知量，用方程的思想方法求解． 2. 比较的思想方法
利用比较这一思想方法，分清易混概念和性质，加深对概念性质的理解和认识．例如平行线的性质是理解判定定理时最易混淆的，学习时，可通过比较其异同弄清它们的区别和联系．
3. 推理的方法
推理是一个思维形式，它是从一个或几个判断得出新判断的思维形式．推理时要时刻明确最终目标，最后推出结论，推理过程要步步有根据，不能“想当然”，推理的根据，可以是已知条件、定义、性质、基本事实等．
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 选择题
1. 如图所示，下列说法中正确的是（ ） A. 图中没有同位角、错角、同旁角
B. 图中没有同位角和错角，但有一对同旁角 C. 图中没有错角和同旁角，但有三对同位角 D. 图中没有同位角和错角，但有三对同旁角
A
2. 一条公路两次转弯后又回到原来的方向（即AB∥CD，如图），如果第一次转弯时的∠B＝140°，那么，∠C应是（ ）
A. 140° B. 40° C. 100° D. 180°
CADBC140°B
3. 如图所示，下列说确的是（ ） A. 若AB∥CD，则∠B＋∠A＝180° B. 若AD∥BC，则∠B＋∠C＝180° C. 若AB∥CD，则∠B＋∠D＝180° D. 若AD∥BC，则∠B＋∠A＝180°
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《平行线》复习讲义
