从侧面观察得到如下示意图：
Z x h X 图2 截面椭圆示意图
根据题目中的已知数据，得到椭圆截面的方程式为：
x2z2??1 220.890.6于是有
0.892z2x?0.89?0.6222
取从上到下叠加的矩形薄片为体积微元，得到体积微元公式：
0.892z2dv?2?2.45?0.89?dz 20.6体积微元在z轴方向进行积分，得到体积公式：
V?2?2.45??h?0.6?0.60.892z20.89?dz20.62hh2??h??? ?2.18025??h?0.6????1.3083??arcsin??1???0.30.36?0.6?2??
将该结果与实际测量数据在同一以高度为横坐标，体积为纵坐标的坐标系中作图，
得到如下曲线：
4
储油量与油位高度关系图4500400035003000储油量 / L25002000150010005000计算得到数据实际测量数据00.20.40.60.8油位高度 / m11.21.4图3 计算曲线与实际数据对比图
从图像上可以看出，计算得到的数据与实际测量数据吻合较好，相对误差始终很小，实际数据稍小可能是由于探针，进出油罐管道等占一定体积及罐壁厚度造成的，为简化模型，本文忽略这部分影响。
5.1.2??4.1o纵向变位
以椭圆罐底中心为原点，X轴，Z轴平行于罐底，Y轴平行于油罐侧壁方向建立空间直角坐标系：
油位探针 Z Y
h0 H X
图4 纵向变位情况下建立空间直角坐标系
由图4可知：
H?h0?400tan?
5
接下来分三种情况进行讨论，通过二重积分即可求得油料体积。
第一种情况：
当400tan??H?2450tan?（单位：mm ）时，只有一端罐底接触油面，如图5：
油位探针
Z
Y
h0 H X 图5 第一种情况
先在Z轴方向上定积分，得到任意位置油料截面面积：
S?2??h?600?6008902z2890?dz26002?hh2???h???5 ?890?h?600????5.34?10?arcsin?1?????2??600?2???300600?再将h视为变量，在Y轴方向上定积分：
V1??其中h?Htan?0S?h?dy
H?ytan?，代入后解得：
V1??8.622?10?3H4?1.242?104H2?20.69H3?1.17?108H?7.021?109 ?7.45?106?arcsin?1.667?10?3H?1?H ?4.47?109?arcsin?1.667?10?3H?1??7.45?106?1200H?H2第二种情况：
当2450tan??H?1200 （单位：mm）时，两端罐底都接触油面，如图6：
6
Z 油位探针 Y H h0 X 图6 第二种情况
V2??代入
24500S?h?dy
h?H?ytan?
得：
V2?2.558?109?6.462?106H?1.250?104H2?6.057H3 ?7.450?106?arcsin?1.667?10?3H?1.2927?H? +5.778?109?arcsin?1.667?10?3H?1.2927??7.450?10?25 ??2.416?1067?1?1062H2?1.551?1065H?7.45?106 ?arcsin?1.667?10?3H?1?H?4.47?109?arcsin?1.667?10?3H?1? ?7.45?106?1.2?103H?H2
第三种情况：
当H0?1200，其中H0?h0?400tan? （单位：mm）时，一端罐底已经完全被油浸没，如图7：
油位探针 Z
Y
h0 H0
X
图7 第三种情况
7
V3?2450?890?600???且h?H'tan?0S?h?dy
H'?ytan?，其中
H'?2450tan??H0?1200，
代入上式解得：
V3?1.3083?109??V1?H'?
将上述三种情况得到的方程式分区间画在同一坐标系中，并与实际测量的数据做对比，得到如下关系图（图8）：
纵向变位后储油量与测量油位高度关系图4500400035003000罐内储油量 / L25002000150010005000第一阶段第二阶段第三阶段实际数据0200400600800测量油位高度 / mm10001200
图8 变位后储油量与油位高度关系图
从图8可以看出，计算得到的公式基本符合实际检测数据。通过代入数据，误差保持在3%以内。因此，在标定罐容表时，我们以得到的公式为基础，代入数据计算即得。
将变位前后储油量与油位高度关系图画在同一坐标系中，得到图9：
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2010年全国大学生数学建模优秀论文(A题)
